3.6圆内接四边形 【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 2 【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 5 【知识点1】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2025 西安校级一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ） A．50°B．45°C．40°D．30° 【答案】D 【分析】首先根据∠BCD=2∠BAD及圆内接四边形的性质求出∠BAD=60°，再根据圆周角定理得∠BAE=90°，然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∵∠BCD=2∠BAD， ∴2∠BAD+∠BAD=180°， ∴∠BAD=60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-60°=30°． 故选：D． 【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 【典型例题】如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵, ∴, ∵=， ∴, ∵四边形内接于， ∴； 故选：B． 【举一反三1】如图，点A，B，C在圆O上，顺次连接各点得到四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，在优弧上取一点D，连接，， 由圆内接四边形的性质可得， ， ， 故选D． 【举一反三2】如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】 【解析】连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴,， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∵, ∴, ∵, , ∴在中，； 故答案为：. 【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC． （1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数； （2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°， ∵，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°； （2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠B＝2∠ADC， ∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°， ∵AO＝6，OH⊥AC， ∴OH＝AO＝3， 由勾股定理得：AH＝＝3， ∵OH⊥AC，OH过圆心O， ∴AH＝CH＝3， ∴AC＝AH+CH＝6． 【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 【典型例题】如图，已知四边形内接于，点O在的内部，，，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 选项A、B、C错误，D正确． 故选：D． 【举一反三1】如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∵四边形内接于． ∴， ∴，故B选项正确； ∵与不确定平行， ∴无法求出的度数，故A，C不正确； ∵与不确定平行， ∴无法求出，故D选项不正确； 故选：B． 【举一反三2】如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、 无法证明，故选项A错误，符合题意； B、∵平分，∴，∴，故选项B正确，不符合题意； C、∵四边形内接于，∴，故选项C正确，不符合题意； D、∵平分，∴，∴，∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：A. 【举一反三3】如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ... ...
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