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课件网) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 题型觉醒 高频题型：题型二、题型三 题型一 不等关系的表示 1.（2025河南联考）在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙 班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为, ,则用不等式组表示 为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由甲班的分数大于乙班的分数可得 ，由甲班和乙班分数之和大于170得 ，不大于190，则 ，故D正确. 2.（2024江西上饶期末）糖水在日常生活中经常见到,可以说大部分人都喝过糖水.如果 克糖水中含有克糖,再添加克糖 （假设糖全部溶解）,糖水变甜了, 将这一事实表示为不等式正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 加入克糖 后糖水变甜了,即糖水的浓度增加了. 加糖之前,糖水的浓度为；加糖之后,糖水的浓度为,所以 . 题型二 不等式性质的应用 题组一 利用性质判断不等式是否成立 3.（2025北京顺义区期末）已知实数, 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确 的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 由题图知 . 因为,，由性质4（可乘性）知 ； 因为，，则由倒数法则可知 ； 由作差法可得 ； 因为，所以由性质7（乘方法则）可知，即 . 坑神敲黑板 应用不等式的性质时需要注意：变换条件、交换条件和结论的位置不等式都不一定成立. 4. （多选/2025山东泰安期末）下列选项正确的是( ) ABC A.若,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,,则 【解析】 与开方法则相比，可判断正误. 因为，，所以.（易错提示:由于 ,故若此处未带等号,则 式子不成立） 因为，所以由倒数法则得 ， 因为，由性质6（同向同正可乘性）知 . 与性质5（同向可加性）相比， ，条件不成立，故结论无法成立.举反例: 当,，,时，满足，，此时 ， ，则 . . . 坑神传妙招 举反例是判断不等式是否成立的常用手段,举例时注意根据目标式选择合适的数值. 5.（多选/2024江西联考）已知, ,则( ) CD A. B. C. D. 【解析】 由,可得,解得 ； 由,可得,解得 ； 由可得,即 ； 由得，则，由A知 ，则 . 由B知,即，由A知 ,所以 ,即 . 6. （多选/2025河南省实验中学月考）大招13下列命题为真命题的是( ) BCD A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【解析】 由倒数法则知, 是异向相加,不一定成立. 举反例：当,时, . 利用作差法比较大小..由 知 ,,符号不确定，故 不一定成立. 利用作差法比较大小,所以 .
（同乘-1不等式变号）
（可加性）,
同乘,（可乘性）得.又因为,则
（同向同正可乘性）. 利用作差法比较大小 . 因为,所以,,,所以,即 . 若,则（可加性）,且 （可加性）,即 ,同乘（可乘性）得 . 利用作差法比较大小.由 知 ,,，故，即 . . . . . . . . . . . . . . . 题组二 作差法、作商法比较大小 7.（2025河南洛阳检测）设 ,下列式子恒成立的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 用作差法比较大小.因为 ， （配方法），该式大于等于0不恒成立； 举反例:取，则 ； 恒成立，该选项正确； ，当时，，即 不恒成 立； （配方法），当 时等号成立， 所以 不恒成立. . . . . 8.（2024山东省实验中学期中）若,,则, 的大小关系是( ) C A. B. C. D.不能确定 【解析】 ,都是两个无理式相加,且 ,平方后只需比较两个根 式的大小. , , ,,,.（ , 由开方法则得） . . 9. （多选/2024河北邯郸统考）已知实数,,满足 ,则以下大小关系正确 的是( ) AD A.当时, B. C. D. 【解析】 由性质7（乘方法则）知当时正确.当 时可用作商法比较 大小：,, . ,当时 . 注意糖水不等式中要求.当时， . 作差法,, （开方法则）, 上式大于0, . 作商法 , ,, , . 平方法. , , ., , ,,故 . . . 10. （2025广东深圳高级中学月考）（1）设,试 ... ...
