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课件网) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 专项觉醒1 换元和消元的应用 题型一 消元 1.（2025河南新高中创新联盟联考）已知正数,满足,则当 取得最 大值时, ( ) D A. B.4 C. D. 【解析】 , 由，得（直接用表示 ,将两个变量转化为 一个变量），又，， ， 令 ，则 ， 当且仅当，即时取等号，此时 . . . 2.（2025湖南名校联考）已知,,且,则 的 最大值为__. 题目中给出的条件等式比较复杂，但两个变量间存在关系，考虑整理条件后 进行消元. 【解析】 ,，又 ， ， （将看作整体后由十字相乘法求解）， 或 （舍去）， ， 当且仅当，即时等号成立，此时取最大值 . . . 3.（2025天津西青区期中）设正实数,,,满足,则当 取得最大 值时, 的最大值为_____. 【解析】 将代入后剩下关于,的二元分式 ，经齐次化 处理后使用基本不等式. 由题意知正实数，，，满足 ， 即 （第一步:将三元消为两元），则 ， 当且仅当，即时取等号，故，即的最大值为 ， 此时，故 （第二步:结合上述等号成立的条件进行 第二次消元） ， 当，即时，取最大值 . . . . . 坑神有话说 对含有多元变量的代数式求最值时,通常要减少变量的个数（即消元）,方法是把其中一 个变量用其他变量表示后代入消元,也可利用比值消元如第3题中, . 题型二 换元 4.（2025福建联考）已知,,,则 的最小值为___. 9 【解析】 条件式子比较复杂，两个分式的分母可直接考虑整体换元，简化式子形式. 设, ， 则, ， 当且仅当即，即,时等号成立，所以 的最小值为9. 配凑定值.，又因为,, ，所 以，当且仅当，即 , 时等号成立，所以 的最小值为9. 5.已知,,且满足,则 的最小值为_____. 【解析】 可化为,即 （根据乘积换元）.令,,则.将待求式转化为, 的表达式,根 据 ,由基本不等式求最小值. 所以 . 因为,当且仅当时等号成立,所以 的最 小值为 . . . 6.（2025重庆八中月考）已知且,则 的最小值为___. 9 由于待求式的两个分母与已知式间关系不明显,需考虑换元,使结构简单. 【解析】 由,得,，令, ,则 , 故（“1”的代换） , 当且仅当即时等号成立,也即,,即, 时,等号成立,故 的最小值为9. 利用权方和不等式.由,得, ， ,当且仅当,即, 时等 号成立.故 的最小值为9. . . 7.已知,,,则 的最大值为_____. 由可对称设元, ,化为一元函数最值求解. 【解析】 设,, , 则 ,（复杂的分式结构,对分子、分母公共部分换元） 设, , 则原式,当且仅当,即 时等号成立,所以 的最大值为 . . . ①.由 得 ,则 ,代入①得原式 .令,因为,, ,所以 ,当且仅当时等号成立,所以 ,则原式 , 当且仅当且,即时等号成立,故 的最大值为 . 8.（2025江西吉安一中月考）若对任意实数,,不等式 恒成 立,则实数 的最小值为_____. 【解析】 分离变量,将问题转化为对于任意实数, 恒成立,则只需求 的最大值即可. （分子分母同时除以,得到关于 的代数式,可整体换元）. 设,则,再设 ,则 ,当且仅当 , 即时等号成立,此时，所以,即实数的最小值为 . . . 第二章 一元二次函数、方程和不等式 专项觉醒2 一个桥梁的应用 1.（2024河南郑州检测）已知,,,则 的最小值为 ( ) A A.6 B. C.7 D. 应用桥梁消去已知条件中的,转化为关于 的一元二次不等 式求解. 【解析】 ,而 （桥梁）,所以 ,即 ,解关于 的一元二次不等式得 舍去,当且仅当时等号成立.故 的最小值为6. . . 配凑定值.,, ,所以 ,当且仅当 , 即,时等号成立.故 的最小值为6. 消元法.因为,所以 ,所以 ,当且仅当时等号成立,所以 的最小值为6. 坑神传妙招 地位等价法 在求解代数式的最值时,如果,互换位置,题目不变,我们称之为, 地位等价,通常可以使 用地位等价法.但此方法并非万能,它的原理是基本不等式中“一正”“二定”“三相等”,所以 建议在部分选择题 ... ...
