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课件网) 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 题型觉醒 高频题型：题型二、题型三 题型一 幂函数定义的理解 1.下面的函数中是幂函数的有( ) C ；；； ； . A.①⑤ B.①②③ C.②④ D.②③⑤ 【解析】 由幂函数定义可知,②④是幂函数. 坑神有话说 的系数是1；的底数是自变量；的指数 为常数.只有满足 这三个条件,才是幂函数. 2.（2025辽宁六校联考）已知幂函数满足,则 ( ) B A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】 因为幂函数满足,所以,所以 , 则,从而 . 3.（2025山西运城期末）已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共 点,则 ( ) A A. B. C.2 D. 【解析】 由题意知解得.所以,所以 . 题型二 幂函数的图象 4.（2024黑龙江哈尔滨六中阶段练习）函数 的图象大致为( ) C A. B. C. D. 【解析】 的定义域为,且 , 故 为偶函数,排除A,B； 因为,所以函数的图象在 上增长速度越来越快,为下凸函数,C正确,D错误. 坑神小课堂 观察五种特殊幂函数在第一象限内的图象可知,幂函 数 的图象在第一象限内具有如下特征：在 平面直角坐标系中,直线,将直线 的 右侧部分分为（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三个区域,如图所示, 若,则 的图象经过区域（Ⅰ）；若 ,则 的图象经过区域（Ⅱ）；若 ,则 的图象经过区域（Ⅲ）.在直线的右侧,从 轴向上,幂函数 的指数 由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”. 5.函数,且互质 的图象如图,则( ) C A.,是奇数,且 B.是偶数,是奇数,且 C.是偶数,是奇数,且 D.,是偶数,且 【解析】 因为函数的图象关于轴对称,所以为奇数, 为偶数,又因为在第一象 限内,函数是上凸函数,所以 . 坑神小课堂 幂函数 的奇偶性 的分类 的奇偶性 是偶数 偶函数 是奇数 奇函数 ,互质 是奇数 是奇数 奇函数 是偶数 偶函数 是偶数 既不是奇函数,也不是偶函数 6.（多选/2024吉林四平一中月考）下列说法正确的是( ) BD A.所有幂函数的图象均过点 B.若幂函数 在区间上单调递减,则 C.幂函数一定具有奇偶性 D.任何幂函数的图象都不经过第四象限 【解析】 的图象不过点 ； 当幂函数 在区间上单调递减时, ； 对于函数 ,无奇偶性； 任何幂函数的图象都不经过第四象限. 7.（2025浙江杭州期末）如图所示的幂函数图象对应的 解析式可能为( ) C A. B. C. D. 【解析】 ,定义域为 ,当 时, ； 当时, ； ,定义域为 ,函数为偶函数,且 在上单调递减,在 上单调递增； ,当时, . 8.（多选/2024湖北省沙市中学月考）已知幂函数的图象经过, , ,中的三个点,则 的值可能为( ) BC A. B. C.3 D.9 【解析】 设,由幂函数的性质可知的图象必定经过点 , 若的图象经过,,三点,由,得 可能为正奇数, 则的解析式可能为,满足,此时 ； 若的图象经过,,三点,由,得 , 则,满足,此时 ； 若的图象经过,,三点,由,得到,,此时点不在 的图象上,即的图象不同时经过,, 三点. 题型三 幂函数的性质及应用 题组一 幂函数的性质 9.（2024广东汕头期末统考）已知点在幂函数的图象上,则函数 是 ( ) A A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 【解析】 点在幂函数的图象上,则,解得 , 所以,由幂函数的性质可知,幂函数的定义域为 （判断函数奇偶性时先判断函数定义域是否关于原点对称）, ,函数 是奇函数； 函数在和 上单调递减,但在定义域内不单调. . . 10.（2025南京师大附中检测）下列函数中,既是奇函数,又在区间 上单调递增的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 函数的定义域为 ,不是奇函数； 函数是 上的偶函数； 幂函数在 上单调递减； 幂函数是奇函数,且在 上单调递增. 11.（2025湖南长郡十八校联考）已知幂函数的定义域是,则 ___. 2 【解析】 因为函数为幂函数,所以 ,即 , 解得或 , 当时,函数的定义域为 ,合乎题意； 当时,函数的定义域为 ,舍去. 综上所述, ... ...
