(
课件网) 第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.1 函数的零点与方程的解& 4.5.2用二分法求方程的近 似解 题型觉醒 高频题型：题型二、题型三、题型四 题型一 求函数的零点 1. （2025福建省龙岩一中月考）函数 的零点是( ) A A.1 B. C. D. 或1 【解析】 由,得 ,（定义域先行:分母、根式有意义） 所以函数的定义域为 . 令,解得（舍去）或,所以函数 的零点是1.（ 函数的零点是实数,不是坐标） . . . . 坑神有话说 函数的零点,即为方程 的解,对方程求解后注意根据函数的定义域或者题中 的限制条件取舍. 2.（2025河南周口期中）下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 由函数零点的概念知,函数的零点就是函数图象与 轴交点的横坐标,结合函数 零点的定义可知选项D没有零点. 3.（2025湖南省衡阳县第三中学月考）已知函数则函数 的 零点为 ( ) D A.,0 B.,0 C. D.0 【解析】 函数 当时,（分段求解函数的零点,注意定义域）令,解得 ; 当时,令,解得（舍去）, 函数的零点为0. 坑神有话说 分段函数的零点分段求解,求解时注意要符合本段自变量的取值范围. . . . . 4.（2025辽宁鞍山期中）已知函数, , 的零点分别是,,,则,, 的大小顺序为( ) A A. B. C. D. 【解析】 分别令,,,得, , , 则为函数与图象交点的横坐标, 为 函数与图象交点的横坐标, 为函数 与 图象交点的横坐标,（函数的零点 两函数图象交点的横坐标）在同一平面直角坐标系 中,分别作出,,和 的图 象,如图,由图可知, . . . . . . . 题型二 函数零点存在定理的应用 5.（2025广东揭阳一中期末）函数 的零点所在的区间为( ) B A. B. C. D. 【解析】 函数在 上单调递增,（单调函数若有零点,则只有 一个）又因为, ,所 以,即函数零点所在的区间为 . . . 6. 已知定义在上的函数 的图象是连续不断的,且有如下部分对应值表: 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点至少有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 根据给定的数表,利用零点存在定理判断即可. 由题意知定义在上的函数 的图象是连续不断的.（此条件必不可少） 由数表知,,,, , 因此函数在区间,, 上分别至少有1个零点,（函数零点存在定理） 所以函数 的零点至少有3个. . . . . 7.（2025上海交大附中期末）已知函数的图象在区间 上连续不断,则 ”是“在 上存在零点”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当在上存在零点时,不一定能得到 ,例如 ,此时的零点为2,但 ,所以必要性不满足； 当时,若,,三个值中存在0,则在 上显然存在 零点；若,,三个值均不为0,不妨假设 , 因为,所以,,则 ,根据函数零点存在 定理可知在 上存在零点,所以充分性满足. 所以“”是“在 上存在零点”的充分不必要条件. 8. （2024江苏海安检测）试写出一个实数 _____,使得函数 在 上恰有1个零点. 1（答案不唯一） 【解析】 不妨取 ,根据零点存在定理以及函数的单调性,即可说明所取值符合题意. 不妨取,则,则,,即得 , 又图象的对称轴为直线,则在 上单调递增, 故在 上恰有1个零点,满足题意. 题型三 判断函数零点个数 9.（2024北京一六一中学期中）函数 的零点个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 将函数零点问题转化为方程的实数根问题,且所得方程有解,故运用代数法直接 解方程即可得函数的零点个数. 【解析】 函数的定义域为,令,即 ,解得 ,所以函数 的零点个数是1. 10.（2025江西省宜春市宜丰中学月考）函数 的零点个数为 ( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 将函数的零点问题转化为方程的实数根问题,若方程不易求解,则可以考虑使用 性质法,利用零点存在定理判断. 【解析】 当时,令,解得 , 当时, , ,,则 ,又 在区间上连续,所以在 ... ...
