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课件网) 全称量词和存在量词 1 含有量词的命题 2 含量词命题的否定 目 录 CONTENTS 3 习题1.2 4 数学文化 5 小结与复习 一 含有量词的命题 一 含有量词的命题 前面看到，像x>0这样带有不确定变量的语句不是命题．但如果加上一个约束，例如“对每一个实数x有x>0”或者“有一个实数x使x>0”，它们就是命题了．前者假而后者真，有了真假就是命题． 这里的“每一个”和“有一个”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词．涉及量词的命题必须指出量词的作用范围，说明“每一个”是哪个集合中的每一个，“有一个”是在哪个集合中有一个． 一 含有量词的命题 ———任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“”表示．设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M(当x取值a∈M时，p(a)成为一个命题)，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题．用符号简单地表示为 ?x∈M， p(x)． ———存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“”表示．语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题．用符号简单地表示为 x∈M， p(x)． 一 含有量词的命题 在数学里有许多命题明显地或暗含地使用了量词． 例如：对任意实数a，a2+1>0．这里“任意实数a”和“每一个实数a”是意义相同的全称量词，命题中全称量词“任意”的作用范围是实数集R．用符号表示就是“a∈R，a2+1>0”． 又如：存在某个整数a，使得a2－1是5的倍数．“存在某个”是存在量词，命题中它的作用范围是整数集Z．用符号表示就是“a∈Z， ∈Z”． 指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数a，a2－a－2>0； (2)对某个大于10的正整数n，( )n=1024． 解 (1)命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可以写成“a∈R+，a2－a－2>0”． (2)命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．该命题可以写成“n>10，n∈N+，()n=1024”，或者写成“n∈N+ ，n>10，()n =1024 ”，“n∈ N+ ∩(10，+∞)，()n =1024 ”． 例 1 一 含有量词的命题 一 含有量词的命题 如何判断含有量词的命题的真假呢？命题“我篮子里的每一个鸡蛋都是好的”究竟是真命题还是假命题？如果篮子里的每一个鸡蛋确实都是好的，这个命题就是真命题；只要篮子里某一个鸡蛋是坏的，这个命题就是假命题． 例如：因为对每个实数a，有a2+1>0成立，所以命题“a∈R，a2+1>0”是真命题． 又如：因为42－1=15，所以命题“a∈Z，a2－1是5的倍数”是真命题． 判断下列命题的真假： (1)x∈R，x2+2>0； (2)x∈N，x4≥1； (3)a∈Z，a2=3a－2； (4)a≥3，a2 =3a－2； (5)设A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点P使得PA=PB=PC． 例 2 一 含有量词的命题 解 (1)因为x∈R，x2≥0，从而有x2 +2≥2>0，即x2 +2>0．因此(1)是真命题． (2)因为0∈N，但当x=0时， x4≥1不成立．因此(2)是假命题． (3)因为1∈Z且12=3×1－2，因此(3)是真命题． (4)因为a2=3a－2只有两个实数根a=1或a=2，所以当a≥3时a2≠3a－2．因此(4)是假命题． (5)A，B，C三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC外接圆的圆心，则PA=PB=PC．因此(5)是真命题． 一 含有量词的命题 一 含有量词的命题 例3判断下列存在量词命题的真假： (1)a∈Z,a =3a—2; (2)a≥3,a =3a—2; (3)设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点P,使得PA=PB=PC. 一 含有量词的命题 1.指出下 ... ...
