【精品解析】沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习）

沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习） 一、直角三角形存在性 1．（2024九上·昭阳期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1）解：直线与轴相交于点，令，解得，， 将点代入拋物线中，得： ，解得 抛物线的解析式为 （2）解：设，由题可得． 如图知， 故可知为直角三角形有两种情况 ，有，即．解得： 点的坐标为，有，即 ，解得：点的坐标为 综合①②，点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题 【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点B的坐标，再把A、B坐标代入二次函数解析式中求出二次函数解析式即可； （2）设F(m，-m+2)，利用勾股定理求出三角形FDC三边的长度，再分两种情况：∠CDF=90°或∠CFD=90°，利用勾股定理建立方程求解即可． 2．（2024九上·吉林期末） 抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接点是线段下方抛物线上的一个动点不与点，重合，过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； （3）过点作于点，， 求点的坐标； 连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：抛物线与轴交于点和， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ，， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：如图， ，，，，，， ，，，， ， ， 解得：，， 点是线段下方抛物线上的一个动点， ， ， ； 存在点使得为直角三角形，设， ，， ，，， 当时，如图，轴， ； 当时，如图， 在中，， ， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题 【解析】【分析】 （1）将点A、B的坐标代入可得，再求出a、b的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，则， 再求出，最后利用二次函数的性质求解即可； （3）①根据可得求出t的值即可； ②分类讨论：当时，当时， 再分别画出图形并利用勾股定理列出方程求解即可. 3．（2023九上·江阳月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、 C 两点， 与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，-4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点 P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点 P 的坐标 【答案】（1）解：∵抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过 点B（0，-4），点C（2，0）， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 （2）解：存在 理由： 如图 1 中， 设 ， 连接 OD. 令 ， 则 解得x=-4或2， ∴A（-4，0），C（2，0）， ∵B（0，-4）， ∴OA=OB=4， ∵﹣1＜0， ∴t=-2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（-2，-4）； （3）解： 如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（-1.0）．M（-1，-4）； ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 当∠P1AB＝90°时，△ANP1 是等腰直角三角形， 当 时， 是等腰直角三角形， 可得 ， 当∠APB=90°时，设P（-1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（-2，-2）， ， 解得 或 ， ， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（-1，3）或（-1，-5）或或 ... ...