华师大八上13.2.1 勾股定理在现实生活中的应用 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 分课时学案 课题 13.2.1 勾股定理在现实生活中的应用 单元 13 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1.通过对“蚂蚁爬行”“路线最短”等实际情境的分析，抽象出“立体图形表面最短路径→平面图形两点间线段→直角三角形斜边”的核心模型，明确最短路径的本质是平面上两点之间的线段长度。 2.经历“立体图形展开→确定平面上两点位置→构造直角三角形→用勾股定理计算”的推理过程，能严谨推导不同展开方式下的路径长度，比较得出最短路径，培养演绎推理能力。 3.能将立体图形（长方体、圆柱）表面的最短路径实际问题，转化为平面图形中直角三角形的边长计算问题，建立“实际问题—展开图—直角三角形—勾股定理”的建模流程，能运用模型解决同类问题。 重点 掌握立体图形（长方体、圆柱）表面最短路径问题的核心解决方法：将立体图形表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再构造直角三角形用勾股定理计算。 难点 立体图形转化为平面图形的关键：明确立体图形表面上两点的位置，选择正确的展开方式（如长方体不同面的组合展开），确保最短路径能在展开图中呈现为两点间的线段。 教学过程 导入新课 【想一想】直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？ 若c为直角△ABC的斜边，a，b为直角边，则a，b，c的关系为_____ 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用. 新知讲解 【例1】如图，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C.求这只蚂蚁爬行的最短路程.(精确到0.01cm) 【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开，就可以得到长方形 ABCD. 观察图片，思考以下问题： (1)长方形ABCD的边AD的长与圆柱底面圆的周长有什么关系？ (2)长方形ABCD的边CD的长与圆柱的高相等吗？ (3)圆柱表面上的蚂蚁爬行的最短路径相当于直角三角形ABC的哪条边长？ 总结归纳 求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法： 解决这类题的关键是转化，即把圆柱展开，将曲线化成直线，构造直角三角形，再利用勾股定理求出结果. 【做一做】如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是( ). A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm 【例2】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m，宽1.6m，要开进厂门形状如图所示的某工厂. 问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门？(厂门上部分为半圆形拱门) 【做一做】 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形. 巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在△ABC中，点P在直线AC上移动. 若AB =AC =5，BC=6，则BP的最小值为( ). A.4 B.5 C.4.8 D.6 2.如图，一圆柱形容器(厚度忽略不计)，已知底面半径为6cm，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 cm. 3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3分米，高是8分米的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是_____. 4.小明到图书馆借书时，了解到图书馆要购买一批宽为2.4m的书架，欲通过如图所示形状的门(下方为长方形，上方为半圆形)，则书架的外形不得高于( ). A.4.1m B.4.0m C.3.9m D.3.8m 【知识技能类作业】选做题： 5.为筹备迎春晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠上红色油纸，如图①所示. 已 ... ...