第二章 一元二次方程 题型归纳 2025-2026北师大九年级数学上册（学生版+答案版）

第二章 一元二次方程题型归纳 【题型1 利用根与系数的关系降次求值】 【例1】已知和是方程的两个根，则的值为（ ） A． B．2021 C． D．2023 【变式1-1】已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是方程的一个根，则 ． 【变式1-3】若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 【例2】解方程：(1)；(2)；(3) 【变式2-1】解方程： 【变式2-2】阅读理解：解方程：．解：方程左边分解因式，得， 解得，，． 问题解决： （1）解方程：．（2）解方程：． （3）方程的解为 ． 【变式2-3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程： (1)；(2)；(3)． 【题型3 利用一元二次方程求最值】 【例3】设实数满足，则的最大值为 . 【变式3-1】已知实数x，y满足，则x+y的最大值为 ． 【变式3-2】当 ， 时，多项式有最小值，这个最小值是 ． 【变式3-3】阅读下面材料： 丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式. 她还发现像，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用表示.例如：.于是丽丽把称为基本神奇对称式 . 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式① ， ② ， ③， ④ xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是_____（填序号）； （2）已知. ① q=_____（用含m，n的代数式表示）；② 若，则神奇对称式=_____； ③ 若 ，求神奇对称式的最小值. 【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】 【例4】关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（ ） A．﹣＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣＜a＜0 【变式4-1】已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是 ． 【变式4-2】关于的方程的所有根都是比小的正实数，则实数的取值范围是 ． 【变式4-3】若关于x的方程无解，则m的取值范围是 ． 【题型5 一元二次方程中的新定义问题】 【例5】定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【变式5-1】定义：如果关于x的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”； (2)若关于x的方程与互为“对称方程”，求m、n的值及的解． 【变式5-2】定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． （1）填空：_ ；若，则_ ； （2）已知，求的取值范围； （3）小明发现，无论取何值，计算时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由． 【变式5-3】定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_____． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、_____．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． ... ...