浙江省杭州市2025-2026学年高三上学期教学质量检测数学试题 一、单选题 1．已知为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 2．设集合，则（ ） A． B． C． D． 3．设向量.若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛 羊 猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪 羊数量之和，则牛 羊 猪的总头数至少为（ ） A．12 B．15 C．18 D．21 5．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A． B． C． D． 6．设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（ ） A． B． C． D． 7．若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则（ ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 二、多选题 9．在的展开式中，（ ） A．常数项为20 B．含的项的系数为80 C．各项系数的和为32 D．各项系数中的最大值为80 10．设函数，则（ ） A． B．的最小正周期是 C．的值域是 D．在区间上单调递增 11．已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．设，则 三、填空题 12．已知随机变量服从正态分布.若，则= . 13．函数在上的最小值为 . 14．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 . 四、解答题 15．已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 16．设的内角的对边分别为，已知. (1)若. （i）求； （ii）求； (2)求的最大值. 17．已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数. (1)求； (2)证明：当时，； (3)设，对任意的，若，求证：. 18．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 19．现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. (1)求点所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 参考答案 1．B 【详解】. 故选：B. 2．B 【详解】， 因为，所以. 故选:B. 3．A 【详解】， ∴， 解得. 故选：A. 4．B 【详解】设牛、羊、猪分别为 头，则根据题意有，则， 则 ，则 ，则. 故选：B. 5．D 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 6．A 【详解】令， 是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值， 即. 故选：A. 7．B 【详解】设圆的方程为：， 所以，解得：， 所以圆的面积为； 故选：B 8．D 【详解】因为，所以， 即， 令，，所以在上为单调递增的奇函数， 由于，， 所以，则， 故选：D． 9．BD 【详解】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确； 含x的项为，故x的系数是80，所以B正确； 各项系数的和是令时得到，即，故C错误． 的展开式的通项公式为：， 设第项的系数最大，系数为，则， 解得：或，此时系数为，故D正确； 故选：BD． 10 ... ...
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