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课件网) 3.1.2 列代数式表示数量关系 列代数式是将实际问题中的数量关系用代数式表示出来的过程，是代数学习中从具体到抽象的关键环节。它要求我们准确理解文字描述的含义，抓住数量之间的运算关系，并用规范的代数式进行表达。这一技能不仅是解决数学问题的基础，也是用数学语言描述现实世界的重要工具。 一、列代数式的基本步骤 列代数式需要经历 “理解题意 — 分析关系 — 确定运算 — 规范表达” 四个核心步骤，具体如下： 理解题意，明确数量： 仔细阅读题目，找出题目中涉及的所有数量，区分已知量和未知量。已知量通常是具体的数字或明确的描述，未知量则需要用字母表示（通常用\(x,y,a,b\)等字母）。例如：“一个数的 3 倍与 5 的和” 中，未知量是 “一个数”，可设为\(x\)。 分析关系，确定运算： 梳理数量之间的关系，明确它们之间的运算类型（加、减、乘、除、乘方等）。关键是抓住题目中的关键词，如 “和、差、倍、分、积、商、平方、倒数、比…… 多、比…… 少” 等，这些词语直接决定了运算的种类和顺序。例如：“\(a\)比\(b\)的 2 倍少 3” 中，包含乘法（\(b\)的 2 倍）和减法（比…… 少 3）。 确定顺序，分层表达： 当数量关系较复杂时，需要按照运算顺序分层构建代数式。若涉及多层运算，需合理使用括号明确优先级。例如：“\(x\)与\(y\)的差的平方” 需先算差（\(x - y\)），再算平方，即\((x - y)^2\)，而非\(x - y^2\)。 规范书写，检查验证： 按照代数式的书写规则（如数字在前、字母在后，乘号省略，除法写成分数形式等）整理式子，并通过反向翻译（将代数式用文字描述）验证是否与原题意一致。例如：列代数式表示 “\(m\)的倒数与\(n\)的平方的和”，结果应为\(\frac{1}{m} + n^2\)，翻译验证为 “\(m\)的倒数加\(n\)的平方”，与题意一致。 二、常见数量关系的代数式表示 根据数量关系的类型，可分为以下几类进行分析： 和差倍分关系： 这类关系是列代数式的基础，核心是抓住 “加、减、乘、除” 的关键词： 和：“\(a\)与\(b\)的和” 表示为\(a + b\)；“比\(x\)大 5 的数” 表示为\(x + 5\)。 差：“\(m\)与\(n\)的差” 表示为\(m - n\)；“比\(y\)小 3 的数” 表示为\(y - 3\)；“\(a\)减去\(b\)的差” 表示为\(a - b\)。 倍：“\(x\)的 3 倍” 表示为\(3x\)；“\(a\)的一半”（即\(\frac{1}{2}\)倍）表示为\(\frac{1}{2}a\)；“\(b\)的\(n\)倍与 2 的和” 表示为\(nb + 2\)。 分：“\(p\)除以\(q\)的商” 表示为\(\frac{p}{q}\)（\(q 0\)）；“\(m\)的倒数” 表示为\(\frac{1}{m}\)（\(m 0\)）；“\(x\)与\(y\)的和的三分之一” 表示为\(\frac{x + y}{3}\)。 乘方与开方关系： 涉及平方、立方、平方根等运算时，需明确底数和指数（或根指数）： “\(a\)的平方” 表示为\(a^2\)；“\(x\)的立方与 2 的差” 表示为\(x^3 - 2\)。 “\(m\)与\(n\)的和的平方” 表示为\((m + n)^2\)；“\(a\)的平方与\(b\)的平方的和” 表示为\(a^2 + b^2\)（注意与 “和的平方” 区分）。 “\(x\)的算术平方根” 表示为\(\sqrt{x}\)（\(x 0\)）；“\(y\)的立方根的 2 倍” 表示为\(2\sqrt[3]{y}\)。 数量增减与倍数变化： 这类关系常涉及 “增加了”“减少了”“增长到”“缩小为” 等描述： “原来的数是\(a\)，增加 20% 后的值” 表示为\(a + 20\%a = 1.2a\)； “一件商品原价\(x\)元，打八折后的售价” 表示为\(0.8x\)元； “某厂去年产值为\(m\)万元，今年比去年增长\(n\%\)，今年产值” 表示为\(m(1 + n\%)\)万元。 几何图形中的数量关系： 结合几何图形的周长、面积、体积公式，用字母表示未知量： 长方形：若长为\(a\)，宽为\(b\)，则周长为\( ... ...
