1.2 一定是直角三角形吗 课件（共28张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(课件网) 1.2 一定是直角三角形吗 在学习了勾股定理后，我们知道直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。那么反过来，如果一个三角形的三条边满足 “两边的平方和等于第三边的平方”，这个三角形一定是直角三角形吗？本节将围绕这个问题展开，探索直角三角形的判定方法，即勾股定理的逆定理。 一、勾股定理的逆定理 1. 逆定理的内容 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据，其内容为：如果一个三角形的三条边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，其中边长为\(c\)的边所对的角是直角。 2. 与勾股定理的关系 勾股定理和它的逆定理是互逆的两个命题： 勾股定理：若三角形是直角三角形，则 **\(a^2 + b^2 = c^2\)**（条件是 “直角三角形”，结论是 “边的平方关系”）。 勾股定理的逆定理：若三角形的三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则三角形是直角三角形（条件是 “边的平方关系”，结论是 “直角三角形”）。 两者相辅相成，勾股定理用于直角三角形的边长计算，逆定理用于通过边长关系判定三角形是否为直角三角形。 3. 关键词解读 “满足\(a^2 + b^2 = c^2\)”：这里的\(a\)、\(b\)是三角形中较短的两条边，\(c\)是最长的边（即斜边候选边）。若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则可判定为直角三角形。 “边长为\(c\)的边所对的角是直角”：在三角形中，长边对大角，由于\(c\)是最长边，且满足平方关系，因此它所对的角必然是直角（90°）。 二、逆定理的验证 我们可以通过几何推理和动手操作两种方式验证勾股定理逆定理的正确性。 1. 几何推理验证 已知：在△ABC 中，AB = \(c\)，BC = \(a\)，AC = \(b\)，且\(a^2 + b^2 = c^2\)。 求证：△ABC 是直角三角形，且∠C = 90°。 证明： 构造一个直角三角形 A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = \(a\)，A'C' = \(b\)。 根据勾股定理，在 Rt△A'B'C' 中，A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = \(a^2 + b^2\)。 已知\(a^2 + b^2 = c^2\)，且 AB = \(c\)，因此 A'B' = AB = \(c\)。 在△ABC 和△A'B'C' 中，BC = B'C' = \(a\)，AC = A'C' = \(b\)，AB = A'B' = \(c\)，根据 “SSS”（边边边）全等判定定理，△ABC≌△A'B'C'。 因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形。 2. 动手操作验证 准备长度分别为 3cm、4cm、5cm 的三根小木棒，尝试拼接成三角形。 测量三角形的最大角，会发现这个角的度数为 90°，且\(3^2 + 4^2 = 5^2\)，符合勾股定理逆定理的条件。 再换一组数据，如 5cm、12cm、13cm，拼接后测量最大角，同样为 90°，且\(5^2 + 12^2 = 13^2\)。 通过多次实验可以发现，只要三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，拼接出的三角形一定是直角三角形。 三、直角三角形的判定步骤 使用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，可按以下步骤进行： 1. 确定三角形的三条边长 明确三角形三条边的长度，分别记为\(a\)、\(b\)、\(c\)，并找出其中最长的边（设为\(c\)）。 2. 计算两条较短边的平方和与最长边的平方 分别计算\(a^2 + b^2\)和\(c^2\)。 3. 比较两者的大小 若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形是直角三角形，最长边\(c\)所对的角是直角。 若\(a^2 + b^2 c^2\)，则该三角形不是直角三角形。 示例 例 1：判断边长分别为 6、8、10 的三角形是否为直角三角形。 解： 最长边为 10，即\(c = 10\)，较短边为\(a = 6\)，\(b = 8\)。 计算\(a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)，\(c^2 = 10^2 = 100\)。 因为\(6^2 + 8^2 = 10^2\)，所以该三角形是直角三角形，最长边 10 所对的角是直角。 例 2：判断边长分别为 5、6、7 的三角形是否 ... ...