2.3.1 立方根 课件（共28张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(课件网) 2.3 立方根 在学方根之后，我们自然会思考：对于立方运算，是否也存在类似的逆运算呢？比如，已知一个正方体的体积是 8 立方米，如何求出它的棱长？这就需要用到我们今天要学习的 “立方根” 知识。立方根与平方根既有联系又有区别，通过本节的学习，我们将全面认识立方根的概念、性质和运算。 一、立方根的概念 （一）概念引入 我们知道，正方体的体积公式为 “体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长”。如果一个正方体的体积是 27 立方米，设它的棱长为\(x\)米，那么可得\(x^3 = 27\)。因为\(3 3 3 = 27\)，所以这个正方体的棱长是 3 米。这里的 3 就是 27 的立方根。 （二）定义讲解 一般地，如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的立方根（或三次方根）。例如，因为\(4^3 = 64\)，所以 4 是 64 的立方根；因为\((-2)^3 = -8\)，所以 - 2 是 - 8 的立方根。 （三）表示方法 一个数\(a\)的立方根记作 “\(\sqrt[3]{a}\)”，读作 “三次根号\(a\)”，其中\(a\)叫做被开方数，3 叫做根指数。例如，27 的立方根记作\(\sqrt[3]{27}\)，因为\(3^3 = 27\)，所以\(\sqrt[3]{27} = 3\)；-8 的立方根记作\(\sqrt[3]{-8}\)，因为\((-2)^3 = -8\)，所以\(\sqrt[3]{-8} = -2\)。 需要注意的是，平方根的根指数是 2，通常可以省略不写（如\(\sqrt{a}\)），但立方根的根指数是 3，不能省略。 二、立方根的性质 （一）正数的立方根 正数的立方根是正数。因为正数的立方是正数，所以正数有且只有一个正的立方根。例如，125 的立方根是 5，因为\(5^3 = 125\)，且不存在其他数的立方等于 125。 （二）0 的立方根 0 的立方根是 0。因为\(0^3 = 0\)，所以\(\sqrt[3]{0} = 0\)，0 的立方根只有一个，就是它本身。 （三）负数的立方根 负数的立方根是负数。在实数范围内，负数没有平方根，但负数有立方根，且立方根是负数。例如，-64 的立方根是 - 4，因为\((-4)^3 = -64\)。这是立方根与平方根的重要区别之一。 （四）唯一性 与平方根不同，任何一个实数都有且只有一个立方根。无论是正数、0 还是负数，它们的立方根都是唯一的。这是立方根的一个重要特性。 （五）例题解析 例 1：求下列各数的立方根： （1）64 ；（2）\(-\frac{1}{8}\) ；（3）0.008 。 解：（1）因为\(4^3 = 64\)，所以 64 的立方根是 4，即\(\sqrt[3]{64} = 4\) 。 （2）因为\((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\)，所以\(-\frac{1}{8}\)的立方根是\(-\frac{1}{2}\)，即\(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}\) 。 （3）因为\(0.2^3 = 0.008\)，所以 0.008 的立方根是 0.2，即\(\sqrt[3]{0.008} = 0.2\) 。 三、开立方运算 （一）开立方的定义 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，就像开平方与平方互为逆运算一样。例如，因为\(3^3 = 27\)，所以对 27 进行开立方运算，结果是 3；反之，对 3 进行立方运算，结果是 27。 （二）利用互逆性解题 例 2：已知\(x^3 = -125\)，求\(x\)的值。 解：求\(x\)的值，就是对\(-125\)进行开立方运算。因为\((-5)^3 = -125\)，所以\(x = \sqrt[3]{-125} = -5\) 。 例 3：若\(\sqrt[3]{x} = 4\)，求\(x\)的值。 解：因为开立方与立方互为逆运算，\(\sqrt[3]{x} = 4\)，所以\(x = 4^3 = 64\) 。 （三）特殊关系 对于任意实数\(a\)，有\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)。这是因为\((-x)^3 = -x^3\)，如果\(x\)是\(a\)的立方根，即\(x^3 = a\)，那么\((-x)^3 = -a\)，所以\(-x\)是\(-a\)的立方根，即\(\sqrt[3]{-a} = -x = -\sqrt[3]{a}\)。例如，\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)，这一性质简化了负数立方根的 ... ...