5.3.2应用二元一次方程组--增收节支 课件（共32张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(课件网) 5.3.1 二元一次方程组的应用 -- 古算问题 中国古代数学有着悠久的历史和辉煌的成就，许多经典的古算问题蕴含着丰富的数学思想。这些问题大多通过文字描述数量关系，需要我们从中提取等量关系，建立数学模型进行求解。二元一次方程组是解决古算问题的有力工具，本节将通过分析经典古算问题，学习如何运用二元一次方程组解决这类问题，体会古人的智慧与数学的实用性。 一、古算问题的特点与解题思路 （一）古算问题的特点 文字表述精炼：古算问题通常用简洁的文字描述数量关系，语言风格与现代数学问题有所不同，需要仔细解读。 等量关系隐含：问题中的数量关系往往隐藏在文字背后，需要通过分析关键词句挖掘等量关系。 贴近生活实际：古算问题多源于生活中的实际场景，如购物、分配、行程等，与现实生活联系紧密。 数据设计巧妙：问题中的数据通常经过精心设计，求解结果多为整数，体现了古人对数学美的追求。 （二）解题基本思路 解决古算问题的核心是将文字信息转化为数学等量关系，具体步骤如下： 审题理解：通读题目，理解问题的实际背景和所求内容，圈出关键信息。 设未知数：根据问题中的未知量，设出两个适当的未知数（通常设为\(x\)和\(y\)）。 找等量关系：分析题目中的数量关系，找出两个独立的等量关系。 列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组。 解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解方程组。 检验作答：将求得的解代入原问题中检验是否合理，最后写出答案。 二、经典古算问题解析 （一）鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题是中国古代著名的算术题，最早见于《孙子算经》。 例 1：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 题意分析：笼子里有鸡和兔，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，求鸡和兔各有多少只。 解题步骤： 设未知数：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只。 找等量关系： 头的总数：鸡的头数 + 兔的头数 = 35，即\(x + y = 35\)； 脚的总数：鸡的脚数 + 兔的脚数 = 94，即\(2x + 4y = 94\)（鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚）。 列方程组：\( \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} \) 解方程组： 由第一个方程得\(x = 35 - y\)，代入第二个方程：\(2(35 - y) + 4y = 94\)\(70 - 2y + 4y = 94\)\(2y = 24 \Rightarrow y = 12\) 将\(y = 12\)代入\(x = 35 - y\)，得\(x = 23\)。 检验作答：鸡有 23 只，兔有 12 只，头数总和为 23+12=35，脚数总和为 23×2+12×4=46+48=94，符合题意。 答：鸡有 23 只，兔有 12 只。 （二）盈不足问题 盈不足问题是古代数学中另一种常见的问题类型，涉及分配物品时出现的多余或不足的情况。 例 2：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（出自《九章算术》） 题意分析：几个人一起买物品，如果每人出 8 钱，则多 3 钱；如果每人出 7 钱，则少 4 钱。求人数和物品的价格各是多少。 解题步骤： 设未知数：设人数为\(x\)，物价为\(y\)钱。 找等量关系： 每人出 8 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 - 多余的钱，即\(y = 8x - 3\)； 每人出 7 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 + 不足的钱，即\(y = 7x + 4\)。 列方程组：\( \begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases} \) 解方程组： 将两个方程联立，得\(8x - 3 = 7x + 4\)，解得\(x = 7\)。 将\(x = 7\)代入\(y = 8x - 3\)，得\(y = 8 7 - 3 = 53\)。 检验作答：人数为 7，物价为 53 钱。每人出 8 钱时，总钱数为 7×8=56，56-53=3（盈 3）；每人出 7 钱时，总钱数为 7×7=49，53-49=4（不足 4），符合题意。 答：人数为 7，物价为 53 钱。 （三）方程问题 例 3：今有牛五、羊二 ... ...