17.1 用提公因式法分解因式（第2课时）用提公因式法分解稍复杂的因式 课件（共24张PPT）2025-2026学年八年级数学上册人教版（2024）

(课件网) 幻灯片 1：17.1.2 用提公因式法分解稍复杂的因式 引入：上节课我们学习了用提取公因式法分解简单的因式，比如像\(5x^2 + 10x\)这样公因式为单项式的情况。但在实际问题中，我们会遇到更复杂的多项式，它们的公因式可能是多项式，或者需要经过变形才能找到公因式。这节课我们就来学习如何用提公因式法分解这些稍复杂的因式。 幻灯片 2：公因式为多项式的情况（一） 特征分析：当多项式的各项含有相同的多项式因式时，这个多项式就是公因式。例如多项式\(a(x - 2) + b(x - 2)\)中，\((x - 2)\)是各项都含有的多项式因式，所以公因式就是\((x - 2)\)。 例题 1：分解因式\(3(x - y) + a(x - y)\) 分析：各项都含有多项式因式\((x - y)\)，系数\(3\)和\(a\)没有除\(1\)以外的公因数，所以公因式是\((x - y)\)。 解答：\(3(x - y) + a(x - y)=(x - y)(3 + a)\) 例题 2：分解因式\(x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)\) 分析：公因式为\((a + b)\)，提取后括号内为各项除以公因式的商。 解答：\(x(a + b) - y(a + b) + z(a + b)=(a + b)(x - y + z)\) 幻灯片 3：公因式为多项式的情况（二） 变形技巧：当多项式各项的多项式因式形式不同但实质相同时，需要先进行变形，使其成为相同的因式。例如\((x - y)\)与\((y - x)\)是互为相反数的关系，可将\((y - x)\)变形为\(-(x - y)\)。 例题 3：分解因式\(m(a - 3) - n(3 - a)\) 分析：先将\(3 - a\)变形为\(-(a - 3)\)，则原多项式变为\(m(a - 3) + n(a - 3)\)，公因式为\((a - 3)\)。 解答：\(m(a - 3) - n(3 - a)=m(a - 3) + n(a - 3)=(a - 3)(m + n)\) 例题 4：分解因式\(5(x - y)^2 + 10(y - x)^3\) 分析：\((y - x)^3 = -(x - y)^3\)，原多项式变形为\(5(x - y)^2 - 10(x - y)^3\)。公因式为\(5(x - y)^2\)，其中系数最大公因数是\(5\)，多项式因式取最低次幂\((x - y)^2\)。 解答：\(5(x - y)^2 + 10(y - x)^3=5(x - y)^2 - 10(x - y)^3=5(x - y)^2[1 - 2(x - y)]=5(x - y)^2(1 - 2x + 2y)\) 幻灯片 4：含负号的复杂多项式分解 处理原则：当多项式的首项系数为负时，通常先提取一个负的公因式，使括号内的首项系数为正，方便后续分解。提取负号后，括号内各项的符号都要改变。 例题 5：分解因式\(-2x^3 + 4x^2 + 2x\) 分析：首项系数为负，先提取\(-2x\)作为公因式。 解答：\(-2x^3 + 4x^2 + 2x=-2x(x^2 - 2x - 1)\) 例题 6：分解因式\(-a(b - a) - c(a - b)\) 分析：先将\(b - a\)变形为\(-(a - b)\)，原多项式变为\(-a[-(a - b)] - c(a - b)=a(a - b) - c(a - b)\)，公因式为\((a - b)\)。也可直接提取\(-(a - b)\)，过程如下。 解答：\(-a(b - a) - c(a - b)=a(a - b) - c(a - b)=(a - b)(a - c)\) 幻灯片 5：多步骤提取公因式 适用情况：有些多项式需要多次提取公因式才能分解彻底。第一次提取公因式后，括号内的多项式可能还含有公因式，需要继续提取。 例题 7：分解因式\(2a(x + y) - 3b(x + y) + (x + y)\) 分析：先提取公因式\((x + y)\)，得到\((x + y)(2a - 3b + 1)\)，括号内已没有公因式，分解彻底。 解答：\(2a(x + y) - 3b(x + y) + (x + y)=(x + y)(2a - 3b + 1)\) 例题 8：分解因式\(4x^2y - 8xy^2 + 12x^2y^2\) 分析：第一次提取公因式\(4xy\)，得到\(4xy(x - 2y + 3xy)\)，括号内各项没有公因式，分解完成。 解答：\(4x^2y - 8xy^2 + 12x^2y^2=4xy(x - 2y + 3xy)\) 例题 9：分解因式\(a(x - y) - b(y - x) - c(x - y)\) 分析：先将\(y - x\)变形为\(-(x - y)\)，原多项式变为\(a(x - y) + b(x - y) - c(x - y)\)，提取公因式\((x - y)\)，得到\((x - y)(a + b - c)\)。 解答：\(a(x - y) - b(y - ... ...