4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册北师大版

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：4.4.1 两角分别相等的判定方法 副标题：探索相似三角形的判定奥秘 教师姓名：[你的姓名] 授课班级：[具体班级] 幻灯片 2：学习目标 理解并掌握 “两角分别相等的两个三角形相似” 这一判定方法。（重点） 能运用该判定方法证明两个三角形相似，并解决相关几何问题。（难点） 通过动手操作、观察分析和推理证明，培养逻辑思维和几何推理能力。 幻灯片 3：情景引入 展示图片： 为了测量池塘两端 A、B 的距离，测量人员在池塘外选一点 C，分别连接 AC、BC，在 AC 上取点 D，使 CD = \(\frac{1}{2}\)AC，在 BC 上取点 E，使 CE = \(\frac{1}{2}\)BC，测得 DE 的长为 10m，你能求出 AB 的长吗？ 提出问题： 这个问题中蕴含着怎样的几何知识？ 要解决这个问题，我们需要用到相似三角形的哪些知识？ 幻灯片 4：知识回顾 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。 相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比。 表示方法：△ABC 与△A B C 相似，记作△ABC∽△A B C 。 幻灯片 5：判定方法探究提出 提出问题：根据相似三角形的定义，要判定两个三角形相似，需要证明三个角分别相等且三条边成比例，这个过程比较繁琐。有没有更简便的判定方法呢？ 引导思考：我们知道，三角形的内角和是 180°，如果两个三角形有两个角分别相等，那么第三个角有什么关系？这对判定两个三角形相似有什么启发？ 幻灯片 6：动手操作探究 活动要求： 每人画一个△ABC，使∠A = 60°，∠B = 80° 。 同桌之间将所画的三角形进行比较，观察对应边的长度有什么关系？对应角有什么关系？ 学生活动：学生动手画图，小组内交流比较结果，分享发现。 初步结论：通过操作发现，两个三角形如果有两个角分别相等，那么这两个三角形的第三个角也相等，且对应边成比例，即这两个三角形相似。 幻灯片 7：理论验证 已知：在△ABC 和△A B C 中，∠A = ∠A ，∠B = ∠B 。 求证：△ABC∽△A B C 。 证明思路： 根据三角形内角和定理，可推出∠C = ∠C 。 假设 AB > A B ，在 AB 上截取 AD = A B ，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E 。 由平行线分线段成比例定理的推论可得\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{DE}{BC}\)，且∠ADE = ∠B = ∠B ，∠AED = ∠C = ∠C 。 可证得△ADE≌△A B C ，进而得到\(\frac{A_{1}B_{1}}{AB}\) = \(\frac{A_{1}C_{1}}{AC}\) = \(\frac{B_{1}C_{1}}{BC}\) 。 综上，△ABC∽△A B C 。 幻灯片 8：判定定理总结 定理内容：两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC 和△A B C 中，若∠A = ∠A ，∠B = ∠B ，则△ABC∽△A B C 。 温馨提示： 该定理只需两个角分别相等即可判定两个三角形相似，无需再验证边的关系。 在应用定理时，要准确找出两个三角形中相等的角。 幻灯片 9：例题讲解 1 例 1 题目：如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点，DE∥BC 。求证：△ADE∽△ABC 。 分析过程： 因为 DE∥BC，根据平行线的性质，可得到同位角相等，即∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C 。 又因为∠A 是△ADE 和△ABC 的公共角，所以∠A = ∠A 。 根据 “两角分别相等的两个三角形相似”，可证得结论。 解答过程： 因为 DE∥BC，所以∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）。 又因为∠A = ∠A（公共角）。 所以△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 总结方法：当题目中出现平行线时，可利用平行线的性质得到相等的角，进而运用两角分别相等的判定方法证明三角形相似。 幻灯片 10：练习 1 题 ... ...