4.1.2 无理数指数幂 课件（共16张PPT）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 无理数指数幂 1 有理数指数幂的基本不等式 2 无理数指数幂的概念 目 录 CONTENTS 一 有理数指数幂的基本不等式 一 有理数指数幂的基本不等式 　　我们知道，对任意的正整数n 和正数a，若a＞1，则an＞1；若a＜1，则 an＜1．那么，对于任意的正有理数　，　 和1之间是否也有类似的关系呢 　　设a＞1，下面证明必有　 ＞1: 　　用反证法. 假设 ≤1. 　　则 =a≤1，与已知a＞1矛盾，故 ＞1． 　　进一步可推知， ＞1． 　　试着证明当正数a<1时，有 <1. 一 有理数指数幂的基本不等式 　　综合起来得到有关有理数指数幂的基本不等式： 　　对任意的正有理数r和正数a ， 　　若a＞1则ar＞1；若a＜1则ar ＜1. 　　根据负指数的意义和倒数的性质可得推论： 　　对任意的负有理数r和正数a ， 　　若a＞1则ar ＜1；若a＜1则ar ＞1. 一 有理数指数幂的基本不等式 　　由此可知: 　　对任意的正数a＞1和两有理数r＞s，有　　　　　 ，即ar ＞ as. 　　对任意的正数a＜1和两有理数r＞s，有 ，即ar ＜ as. 　　这两个不等式，有助于建立和理解无理数指数幂的概念. 返回目录 二 无理数指数幂的概念 二 无理数指数幂的概念 　　现在，对于a＞0，当x是任意有理数时，ax 都有了意义. 　　在实际问题中，变量x可以代表厚度或时间，它可以是无理数，正数的无理数指数幂怎么定义呢？ 　　例如，要知道　 是什么意思，就是问如何确定它的大小. 　　回顾一下，　的大小是怎样确定的呢？ 　　我们知道　 ＝1.414213…，是因为知道它比1大，比2小；比1.4大，比1.5小；比1.41大，比1.42小；比1.414大，比1.415小；比1.4142大，比1.4143小……如果需要，我们能够把 算到任意多位小数，即把它的大小范围估计到任意的精度，要多精确都可以达到，这样就算确定了它. 二 无理数指数幂的概念 　　类似的办法，可以确定实数 . 　　例如设a=10，利用前述的不等式可得下表： 二 无理数指数幂的概念 　　例如，根据　　　　　　　　　，先计算出 　　 　　立刻知道25.95＜ ＜25.96，获得了 的四位有效数字. 　　这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确.所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义.于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au 都有了定义. 二 无理数指数幂的概念 　　在幂的表达式au 中，a叫作底数，u叫作指数. 　　可以证明，有理数指数幂的前述运算规律，对实数指数幂仍然成立.类似地，仍有一般的幂运算基本不等式： 　　对任意的正数u和正数a，若a＞1则au ＞1；若a＜1则au ＜1. 　　对任意的负数u和正数a，若a＞1则au ＜1；若a＜1则au ＞1. 二 无理数指数幂的概念 　　　　化简下列各式： 　(1)　　　； 　　(2)　 　解　(1)　　　　　　　　　　； 　　　(2) 例 1 二 无理数指数幂的概念 　　　　已知a＞1，h＞0，对任意的实数u，求证： 　(1) 　　　　　　　　　； 　(2) 　证明　(1)因为　　 ， ， 都是正数，且 ， 故 ， 也是正数. 又 　即得 例 2 二 无理数指数幂的概念 　　(2) 由于对正数A和B有(1+A)(1+B)>1+A+B， 　　故(1+h)2>1+2h， (1+h)3>(1+2h)(1+h)>1+3h ， 　　从而 　　 (1+h)10>［(1+h)2(1+h)3］2 >［(1+2h)(1+3h)］2> (1+5h)2 >1+10h， 　　两端10次方得(1+h)100 > (1+10h)10 >1+100h. 二 无理数指数幂的概念 　　1.用计算器求下列各式的值（结果精确到0.001）： 　　(1) 　　 ； 　　 (2) ； (3) . 　　2.化简下列各式： 　　(1) 　　　　 ； (2) 　　3.已知0