4.1.1 有理数指数幂 课件（共19张PPT）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 有理数指数幂 一 导入 　　数量的单调增长和衰减的现象，大量 出现在客观世界的变化过程之中．从乘方 开方运算发展出来的指数函数、对数函数 和幂函数，既是描述增加或衰减过程的三 种基本数学模型，又是沟通乘法和加法两 种基本数学运算的桥梁，在理论和实践中 扮演了重要角色． 1 根式 2 分数指数幂 目 录 CONTENTS 一 根式 一 根式 　　在初中，我们引入了正整数指数幂的概念，把n(正整数)个实数a的连乘记作an，后来，又把幂指数的概念扩大到整数范围，规定了当a≠0时a0＝1和 (n∈N). 　　我们还知道，整数指数幂的运算有下列运算法则： am·an=am+n ， (am) n=amn ， (ab)n=anbn. 　　下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂. 　　若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根. 　　当n是奇数时，数a的n次方根记作　　. 　　当a＞0时， ＞0；当a＝0时， ＝0；当a＜0时， ＜0. 　　例如，　　＝2，　　＝－2；x3＝－3时，有 . 　　当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数.其中正的n次方根叫作算术根，记作　　. 一 根式 　　当a＞0时，如xn＝a，则　　　　 　　例如，若x2＝3，则 ；若x4 ＝3，则 　　再规定：　　 ，负数没有偶次方根. 　　式子　　叫作根式　(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数． 　　根据上述定义，有( )2 ＝3，( )3 ＝－7. 　 一 根式 一般地，有 由根式的定义，又有 一般地， 一 根式 (　　)n=a. 3 3 3 4 4 4 当n为奇数时， ； 当n为偶数时， n n 一 根式 　　　　　化简下列各式： 　(1) 　　　；　　 (2) 　　　；　　 (3) 　　　　； 　(4)　　　　 (a＜b) ； 　　(5)　　　　　 　解　(1) 　　　 =－2； 　　　(2) 　　　 = =2； 　　　(3) =3－a； 　　　(4)　　　　 =｜a－b｜=－(a－b)=b－a； 　　　(5)　　　　 =｜3－a｜= 例 1 3 4 3 3 4 4 3 返回目录 二 分数指数幂 二 分数指数幂 　　根式运算是一件比较复杂的事，例如，常常要先把根式化为同次根式再按运算法则进行运算，引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算. 　　当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定 这样就有　 方便多了． n n n 6 二 分数指数幂 　　如果再规定0的正分数指数幂为0，0没有负分数指数幂，那么，在a＞0时，对于任意有理数r，s仍有下列运算法则： 这就把整数指数幂推广为有理数指数幂了． ar·as=ar+s，(ar)s=ars， (ab)r=arbr (b>0)． 二 分数指数幂 　　　　　求值： 　(1) 　　；　 (2) 　　；　　(3) 　　；　 (4) 　　　． 　解　(1) 　 ； 　　　(2) ； 　　　(3) ； 　　　(4) 例 2 二 分数指数幂 　　　　用分数指数幂的形式表示下列各式(a＞0) ： 　(1) ； (2) ； (3) 　解　(1) 　　　　　　　　　　； 　　　(2) 　　　　　　　　　　　 ； 　　　(3) 例 3 4 4 3 二 分数指数幂 　　　　计算下列各式（式中字母都是正数）： 　(1) 　(2) 　解　(1) 　　　(2) 例 4 二 分数指数幂 　　建立分数指数幂的目的之一是简化根式运算，下面举例来说明． 　　　　　用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： 　　(1) 　　　　； 　(2)　　　　　　　；　(3) 　　　　　　． 　　解　 (1) 　　 (2) (3) 例 5 3 3 3 3 3 3 二 分数指数幂 　　1.用根式的形式表示下列各式(a>0)： 　　(1) 　； (2) 　； (3) 　； (4) 　． 　　2.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： 　　(1) 　； (2) 　　　 ； (3) ； 　　(4) 　　　　　　　； (5) 　　；　　(6) . 练 习 4 二 分数指数幂 　　3.计算： 　　(1) 　　；　　 (2) 　　 ； (3) ； 　　(4) ； (5) 　　4.化简(式中字母都是正 ... ...