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课件网) 人教版九上 数学 同步课件 一阶 方法分类练 【解题通法】 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 方法1：若圆与直线有明确的交点：只需“连半径，证垂直，得切线”. 证垂直时通常利用圆中关系得到90°角，常用方法有：利用平行转化得 90°角、利用等角代换得90°角、利用全等证明得90°角等. 方法1 有交点→连半径，证垂直 一、利用平行证垂直 例1 如图，AB为☉O的直径，C，D为☉O上不同于A，B的两点，且位于 AB异侧，连接AC，DB，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，交AB的 延长线于点F，∠ABD＝2∠BAC. 求证：CF是☉O的切线. 例1题图 证明：如解图，连接OC， 则∠BOC＝2∠BAC， ∵∠ABD＝2∠BAC， ∴∠ABD＝∠BOC， ∴OC∥BD， ∵CE⊥BD， ∴OC⊥CE， ∵OC为☉O的半径， ∴CF是☉O的切线. 解图 二、利用等角代换证垂直 例2 如图，Rt△ABC内接于☉O，∠ACB＝90°，过点O作OD⊥AB，交 AC于点E，连接CD，且∠D＝2∠BAC. 求证：CD是☉O的切线. 例2题图 证明：如解图，连接OC， ∵OD⊥AB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BOC＋∠COD＝90°. ∵∠BOC＝2∠BAC，∠D＝2∠BAC， ∴∠BOC＝∠D， ∴∠D＋∠COD＝90°， ∴∠OCD＝90°， 即OC⊥CD. ∵OC为☉O的半径， ∴CD是☉O的切线. 解图 三、利用全等证垂直 例3 如图，CA是以OA为半径的☉O的切线，切点为A，连接OC，过点A作 AB⊥OC，交OC于点D，交☉O于点B，连接OB，BC. 求证：CB是☉O的 切线. 例3题图 证明：∵CA是以OA为半径的☉O的切线，切点为A， ∴∠CAO＝90°， ∵OA＝OB，AB⊥OC， ∴∠COA＝∠COB， 在△CAO和△CBO中， ∴△CAO≌△CBO(SAS)， ∴∠CAO＝∠CBO＝90°，即OB⊥CB， ∵OB为☉O的半径， ∴CB是☉O的切线. 方法2：如果圆与直线没有明确的交点：通常“作垂直，证半径，得切线”. 证明垂线段的长等于半径的常用方法有：利用角平分线定理、利用等腰三 角形的三线合一等. 方法2 公共点不确定→作垂直，证半径 例4 (定心卷改编)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC上一 点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，过点C作AO的垂线，交AO的延长 线于点D. 若∠ACD＝∠COD. 求证：AC是☉O的切线. 例4题图 证明：如解图，过点O作OE⊥AC于点E， 解图 ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝∠COD，∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB＝∠ACD， ∵∠ABO＝∠ADC＝90°， ∴∠BAO＋∠AOB＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠BAO＝∠CAD， ∴AD为∠BAC的平分线， ∵OE⊥AC， ∴BO＝OE， ∴OE为☉O的半径， ∴AC是☉O的切线. 例4题图 解图 二阶 综合训练 1. 如图，已知四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，点O是AB的中 点，∠COD＝90°，以点O为圆心，AB长为直径作圆☉O. 第1题图 证明：如解图，延长DO交CB的延长线于点E，过点O作 OF⊥CD，垂足为F， 第1题解图 ∵点O是AB的中点， ∴AO＝BO， 又∵∠DAO＝∠CBO＝∠EBO＝90°，∠AOD＝∠BOE， ∴△ADO≌△BEO(ASA)， 解图 (1)求证：CD是☉O的切线； ∴DO＝EO， 证明：如解图，延长DO交CB的延长线于点E，过点O作OF⊥CD，垂 足为F， 第1题解图 ∵点O是AB的中点， ∴AO＝BO， 又∵∠DAO＝∠CBO＝∠EBO＝90°，∠AOD＝∠BOE， ∴△ADO≌△BEO(ASA)， 解图 (1)求证：CD是☉O的切线； ∴DO＝EO， ∵∠COD＝90°，即CO⊥DE， ∴易得∠DCO＝∠BCO， ∴OF＝OB， ∴OF为☉O的半径， ∴CD是☉O的切线 第1题图 解：如解图，连接BM， ∵点M是OC的中点，∠OBC＝90°， ∴BM＝OC＝OM＝OB， ∴△BOM是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， (2)若OC与☉O的交点M是OC的中点，☉O的半径为2，求CD的长. 由(1)得∠DCO＝∠BCO， ∴∠DCO＝∠BCO＝30°， ∵☉O的半径OB＝2， ∴OC＝4， 解图 第1题图 ... ...
