2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题五、方程问题（2）（适中版） 一、单选题 1．满足方程组的正整数组（x，y，z）的组数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．若，，则代数式的值等于（ ） A．-13 B． C．-15 D． 3．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．不少于2个但有限个 D．无数个 4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（ ） A． B． C． D． 5．设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为，．当为等边三角形时，其边长为（ ） A． B． C． D． 6．满足等式的所有实数的和为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知等腰三角形的腰长为5，底边上一点到两腰的距离之和为，则底边长为（ ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 8．已知，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 二、填空题 9．方程的解是 ． 10．若以x为未知数的方程无解，则 或 或 ． 11．若，则 ． 12．方程的解是 ． 13．某人购买钢笔、圆珠笔若干支，钢笔价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了，则此人原计划买钢笔与圆珠笔的数量比为 ． 14．已知方程组的两组解是与，则的值是 ． 二、解答题 15．已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值，并求出方程组的解． 16．已知长方形的长和宽都是整数，并且其面积数与周长数恰好相等，求它的长和宽． 17．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； 原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0 (3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值． 18．已知实数满足，求的值． 19．解方程． 20．甲、乙、丙三队要完成两项工程，B工程的工作量比A工程多，甲、乙、丙单独完成A工程所需时间分别是20天、24天和30天．为了同时完成两项工程，先派甲做A工程，乙、丙共同做B工程，经过几天后，又调丙与甲共同完成A工程，问丙与乙合作了几天？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题五、方程问题（2）（适中版） 一、单选题 1．满足方程组的正整数组（x，y，z）的组数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】理由：由原方程组可得 因为x，y，z都是正整数，且31是质数，所以由②，可得 ③ 由③得，． 由①得，， ④ 则x可取1，3，5，15，17，此时z分别为254，84，50，16，14． 结合③，只有两组解满足． 2．若，，则代数式的值等于（ ） A．-13 B． C．-15 D． 【答案】A 【解析】略 3．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．不少于2个但有限个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不定方程问题，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是反证法的应用． 由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得，都是整数，即可得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，即可得出答案． 【详解】解：由直线， 得， 如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点， 得，都是整数， 得，都是偶数， 与中13为奇数矛盾， 故选：A． 4．将关于x的 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
