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课件网) 3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 新课导入 一 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 议一议 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流. 新课探究 二 答：这些特殊的平行四边形均是正方形． 这节课我们就来研究正方形的概念及正方形的性质． 情境导入 能给正方形下一个定义吗？ 答：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 探究新知 议一议 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？ 答：（1）由正方形的定义可知正方形既是矩形，又是菱形； （2）正方形应该具有矩形与菱形的所有性质 探究新知 知识点二：正方形的判定2 3. (1)有一个角是_____的菱形是正方形． 几何语言： 如图， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形； 直角 (2)对角线相等的_____是正方形． 几何语言： 如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． 菱形 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 证明：有一组邻边相等的矩形是正方形. 证明：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明. 答：正方形. 可以证明中点四边形的四边相等，角为直角． 探究新知 议一议： （1）以菱形或矩形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明。如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ （2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？ 探究新知 （1）连接平行四边形各边中点所得到的四边形是平行 四边形； （2）连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形； （3）连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形； （4）连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形； 顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形. 随堂练习 三 已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是菱形. 证明：在正方形 ABCD 中，BE ＝DF， 易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD， 即 CE = AE = AF = FC， ∴四边形 AECF 是菱形． 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？ 任意四边形的中点四边形是平行四边形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边的中点.求证：四边形 EFGH为正方形. 5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四 个角上. 仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC. 证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ. 证明：如图，AQ 与 BP 交于点 O． 在正方形 ABCD 中， ∵PD = QC，∴DQ = AP ． 又∵AB = AD ，∠D = ∠PAB = 90°， ∴△ABP ≌△DAQ． ∴BP = AQ，∠DAQ = ∠ABP ． ∵∠ABP +∠APB= 90°= ∠DAQ + ∠APB． ∴∠AOP = 90°．∴BP = AQ 且 BP ⊥ AQ． 6. 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得 两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（ ... ...
