第三模块 函数基础微专题 基础微专题3 二次函数的增减性、最值及图象的对称性 典题精练 聚焦怎么考 1．[2024河南]已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 2．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，，且，则的值是（ ） A．1或3 B．或3 C．3 D． 3．[变式][2025郑州一模] 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型 （1）二次函数图象上纵坐标相同且不重合的两点必关于二次函数图象的对称轴对称,可根据对称轴与二次函数图象上一点坐标,求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标. （2）判断二次函数图象上点对应的函数值大小时有两种常用方法： ①若点位于对称轴异侧,先将点转化到对称轴同侧,再根据增减性求解. ②对于开口向上的抛物线而言,距离对称轴越远的点位置越高,对应的函数值越大；对于开口向下的抛物线而言,距离对称轴越远的点位置越低,对应的函数值越小. 4．[2025郑州中牟模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，且对称轴为直线，动点在抛物线上，其横坐标为. （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点到轴的距离小于3，求点的纵坐标的取值范围； （3） 若抛物线位于点右侧（包含点）部分对应的函数值最小为，求的值. 5．变式] 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴的交点坐标为. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 当时，函数的最小值为3，求的值. 6．在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点. （1） 若对于，，有，求抛物线的对称轴； （2） 若对于，，都有，求的取值范围. 题型 解答最值问题应根据给出的范围,找出所对应的部分图象,结合二次函数的增减性和抛物线的对称轴,确定相应的最值. 二次函数 的最值如下. ①， 当 时,函数取得最大值； 当 时,函数取得最小值. ②， 当 时,函数取得最小值， 可以通过比较直线 与对称轴的距离和直线 与对称轴的距离来确定函数的最大值，离对称轴远的取得最大值. ， 当 时,函数取得最大值； 当 时,函数取得最小值. 基础微专题4 二次函数图象与线段、面积问题 典题精练 聚焦怎么考 类型1 二次函数图象中的线段问题 题型类型1 直角坐标系中的线段长度 如图, （1）当 轴时，; （2）当 轴时，; （3）当线段所在直线不平行于坐标轴时，常常过线段的端点作坐标轴的平行线，转化为 两种情况，利用勾股定理求线段长，如图，. 1．[2025驻马店模拟]如图1，二次函数的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点. 图1 图2 （1） 求抛物线的解析式； （2） 如图2，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标. 2．变式] 如图，抛物线交轴于点和点 ，交轴于点. （1） 求抛物线的表达式； （2） 是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，求的最大值，并求出此时点的坐标. 类型2 二次函数图象中的面积问题 题型类型2 直角坐标系中的三角形面积 如图, 当 轴时，作 轴，垂足为,与 交于点,则; 当 轴时，作 轴，垂足为,与 交于点,则. 当三角形没有边与坐标轴平行时，可以利用割补法求解三角形面积. 3．[2025河南模拟]如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，连接，.点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当的面积最大时，点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 4．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点. （1） 求二次函数的表达式及点坐标； （2） 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标. 基础微专题5 二次函数图象与直线、线段的交点问题 典题精练 聚焦怎么考 类型1 定抛物线与动直线 方法点睛类型1 抛物线与直线的交点问题的解题方法 联立两个解析式得到一元二次方程,再根据一元二次方程根的判别式 判断. ①当 时,抛物线与直线有 ... ...
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