4.1.1 根式 教案（表格式）

第4章 指数与对数 4.1 指数 4.1.1 根式 ▍教学目标 理解次方根和根式的概念，学会用符号表示一个数的次方根． 理解一个数的奇次方根和偶次方根的性质． 正确运用根式运算性质化简、求值． 引导学生学会观察、分析、抽象、概括，发展学生的核心素养． 数学抽象：用数学语言表示根式的概念． 逻辑推理：理解一个数的奇次方根和偶次方根的性质． 数学运算：利用根式进行式子的化简与求值． ▍情境设置 【问题1】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10分钟，那么，1个细胞1小时后分裂成多少个细胞？ [教师引导] 假设细胞分裂的次数为，相应的细胞个数为，则， 由题中条件可知，，那么，当时，，即一个细胞一个小时后分裂成个细胞． 在上述例子中，只能取正整数，可以规定和，使得对取负整数和0也是有意义的． 那么，中的能取分数甚至无理数吗？ [教师引导] 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系． 当生物死亡了，，，……年后，它体内碳14的含量分别为，，，……是正整数指数幂．它们的值分别为，，，…… 当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量分别为，，，这些式子的意义又是什么呢？我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，需要先学习根式的知识．这些正是本节课要学习的内容． ▍概念的探究与建构 【问题2】 若，则叫的 ．能否举一个实例？ [学生活动] 初中的时候学的平方根，如：是的平方根． 【问题3】 若，则叫的 ．能否举一个实例？ [学生活动] 初中的时候学的立方根，如：是的立方根，是的立方根． [教师引导] 一个正数的平方根有 两 个，它们互为 相反 数；负数没有平方根；零的平方根是 0． 一个正数的立方根是一个 正 数，一个负数的立方根是一个 负 数，0的立方根是 0 ． 【问题4】 类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于，则这个数叫的 ；一个数的五次方等于，则这个数叫的 ；一个数的六次方等于，则这个数叫的 ；……；一个数的次方等于，则这个数叫的 ． [学生活动] 四次方根，五次方根，六次方根，……，次方根．由特殊到一般归纳次方根的概念． 形成知识 次方根： 一般地，如果（，），那么称为的次方根． 【问题5】 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） 的次方根为（ ） [学生活动] 学生快速口答以上问题，由开方和立方进去类比． 【问题6】 一个正数的次方根有几个？一个负数的次方根有几个？的次方根是多少？ [学生活动] 给学生留点时间进行探究． [教师引导] 通过特殊数的次方根，进行数学抽象形成知识．一个数到底有没有次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清为奇数和偶数两种情况． 形成知识 任意一个实数的方根： 一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根． 一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数． 0的任何次方根都是0． 即 为正数： 为负数： 零的次方根为零，记为． 注意：正数的正的次方根叫作的次算术根． 根式：式子叫作根式，这里叫根指数，叫被开方数． 【探究1】 ；＝ ； ． 从(1)你有何发现？ 一定成立吗？为什么？ [学生活动] 肯定成立．我们可以根据根式的定义来说明它是恒成立的（作解释）． 形成知识 根式性质一：． [教师引导] 表示的次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？ 【探究2】 ； ； ； ． 由(1)你发现了什么结论？ ；＝ ； ； ． ； ； ； ． 由( ... ...