4.1.2 指数幂的拓展 教案（表格式）

第4章 指数与对数 4.1 指数 4.1.2 指数幂的拓展 ▍教学目标 了解指数的实际背景，感受指数幂的拓展过程，认识学习指数幂的必要性，理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义． 熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转换． 引导学生学会观察、分析、抽象、概括，发展学生的核心素养． 逻辑推理：指数幂的拓展，由整数指数幂到有理数指数幂，再到实数指数幂的过程． 数学运算：在运用有理数指数幂的运算性质进行化简、求值的过程中，发展数学运算素养． 数学抽象：通过实数指数幂的引入，感受逼近过程，提升学生的数学抽象素养． ▍情境设置 【问题1】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10分钟，那么，1个细胞1小时后分裂成多少个细胞？ [教师引导] 假设细胞分裂的次数为，相应的细胞个数为，则， 由题中条件可知，，那么，当时，，即一个细胞一个小时后分裂成64个细胞． 在上述例子中，只能取正整数，可以规定和，使得对取负整数和0也是有意义的． 那么，中的能取分数甚至无理数吗？ 【问题2】 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系．考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡年后，体内碳14含量的值．例如： 当生物死亡了5730，25730，35730，……年后，它体内碳14的含量分别为，，，……是正整数指数幂．它们的值分别为，，，…… 当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量分别为，，． 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ ▍知识的运用与升华 【问题3】 初中时的整数指数幂，运算性质？ [学生活动] 学生口答． [教师引导] ，（），无意义； （）； ；； ，． 【问题4】 什么叫实数？ [学生活动] 学生口答．有理数，无理数统称实数．简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备． 【问题5】 如何计算：？ [学生活动] 学生分组讨论．得解法：． [教师引导] 普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类比整数指数幂的运算来解题？ 【问题6】 观察以下式子，并总结出规律： ① ；　　② ； ③ ；　　④ ． [教师引导] 从以上四个例子中，你能得到什么结论？ [学生活动] 学生分组讨论，合作学习． [教师引导] 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成的形式． 【问题7】 ，，如何表示？ [教师引导] 引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成指数为分数的形式（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式”．从而推广到正数的分数指数幂的意义． [学生活动] 学生构造、猜想、归纳概念．“特殊—一般”“归纳一猜想”是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力． 形成知识 我们规定正数的分数指数幂的意义为： （，，） 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同． 即：（，） 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂可以互换，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是（）． 【问题8】 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂吗？ [学生活动] 让学生讨论、研究． 形成知识 （，）， （，）， （，，）． [教师引导] 回到前面的问题，则有． 【问题9】 指数的概念就 ... ...