2025-2026学年云南省镇雄县第一高级中学高二上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合，集合，则( ) A. B. C. D. 2.若点到直线为任意实数的距离取最大值时，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.已知，，则等于 A. B. C. D. 5.函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 6.已知分别为的内角的对边，，，则( ) A. B. C. D. 7.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.边长为的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的体积为． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在中，，，，则的面积可能是( ) A. B. C. D. 10.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( ) A. B. 复数的虚部为 C. ，为纯虚数的充要条件是 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 11.已知椭圆的左右顶点分别为，，左右焦点为，，为椭圆上一点，则下列说法正确的是( ) A. 当点异于点，时，直线，的斜率积为定值 B. 当直线，的斜率存在时，，的斜率积为定值 C. 当点是椭圆上顶点时最大 D. 当点是椭圆上顶点时最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.对于任意实数，给出下列命题：“”是“”的充要条件，“是无理数”是“是无理数”的充要条件，“”是“”的充分条件，“”是“”的必要条件，其中是真命题的序号是 ． 13.椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为 ． 14.过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点，的直线方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角的对边分别为，已知，． 求角和； 在边上取一点，使得，求的值． 16.本小题分 已知的三个顶点是，，． 若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 若为直线上动点，为坐标原点，求的最小值及取最小值时直线的方程． 17.本小题分 年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是各家庭回答是否正确相互独立． 求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； 求甲、乙、丙三个家庭中不少于个家庭回答这道题正确的概率． 18.本小题分 图是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图． 求证：平面平面； 在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； 在的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，左准线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为，且． 求椭圆的标准方程； 若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为． 求证：为定值； 求面积的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.由及正弦定理得 ， 即， 所以， 由知，故，又， 所以． 由余弦定理得 即解得或舍去，所以． 在中，由正弦定理得所以， 在中，因为， 故为钝角，所以为锐角，因此． 又，所以， 又为锐角，所以， 所以． 16.当直线过原点时，，则方程为，即； 当直线不过原点时，设为， 又直线过点，则，即． 故此时，的方程为． 综上：直线的方程为或． 设关于直线的对称点为，则中点为 直线的方程为，即． 则，即，所以． ，当共线时取等号， 则的最小值为． 此时直线方程即直线方程：，即． 17.记“甲 ... ...
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