2025-2026学年广东省江门市第二中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省江门市第二中学高二上学期10月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，，则( ) A. B. C. D. 2.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为( ) A. B. C. D. 3.设平面和的法向量分别为若，则( ) A. B. C. D. 4.若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( ) A. B. C. D. 5.如图，平行六面体中，为的中点，，，，则( ) A. B. C. D. 6.如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 7.设直线的一个单位方向向量为，平面的一个法向量为，下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则与所成角为 C. 若，则 D. 若与所成角为，则在上的投影向量为 8.已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知空间中，，则下列结论正确的有( ) A. B. 与共线的单位向量是 C. D. 平面的一个法向量是 10.如图，在平行六面体中，，，底面为菱形，，与，所成的角均为( ) A. B. 四边形为矩形 C. D. 如果，那么点在平面内 11.已知为正方体所在空间内一点，且，，则( ) A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在唯一的，使得平面平面 D. 存在唯一的，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，且，则的值是 ． 13.已知，分别是平面，的法向量，若，则 14.正方形的边长为，其内有两点，，点到边，的距离分别为和，点到边，的距离也分别为和现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合如图，则此时，两点间的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，已知正方体的棱长为为的中点． 求点到直线的距离； 求直线与直线夹角的余弦值． 16.本小题分 如图，在四棱柱中，平面，，，，．，分别为，的中点， 求证：平面； 求平面与平面夹角余弦值． 17.本小题分 如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，点是圆上异于点的任意一点． 若，求点到平面的距离； 求与平面所成角的正弦值的取值范围． 18.本小题分 如图，在矩形和中，，记． 求异面直线与所成角的余弦值； 将用表示出来，并求的最小值； 是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19.本小题分 已知正方体的棱长为． 证明：平面； 动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为． 求的取值范围； 当最大时，求二面角的余弦值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，为的中点，则各点坐标为：，，， 则，； 所以； 所以； 在为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系中，，， 则， 设直线与直线的夹角为， 则． 16.解：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则，， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为． 17.解：如图，连接，过点作，垂足为， 由是圆的直径，得，由是圆柱侧面的母线，得平面， 而平面，则，又平面，因此平面， 而平面，则，又平面， 于是平面，则点到平面的距离为， 因为轴截面是边长为的正方形，所以， 因为，所以，所以， 所以由，则，所以． 点到平面的距离为； 在平面内，过点作交圆于点，连接， 由平面，得直线两两垂直 ... ...