9.1.2 余弦定理 教学设计

《余弦定理》教学设计 一、教材分析 学习本章之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、平面向量等知识，解三角形是在这些知识的基础上，对任意三角形的边长和角度关系作进一步的探索研究．实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，通过研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；通过研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力以及分析问题和解决问题的能力，同时让学生在学习中感受数学的对称美与和谐美；通过解决一些实际问题，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活． 二、学情分析 一方面，学生在初中阶段已经知道：已知三角形的两边及夹角，那么这个三角形是唯一确定的，对此有一个定性的认识，不过还不能定量去描述它们的关系。另一方面，学生学习余弦定理之前已经学习了向量和三角函数等相关知识，具备自主探究推导余弦定理的知识储备. 三、教学目标 1. 通过问题探究，学生能运用向量推导出余弦定理，发展学生的逻辑推理能力，达到逻辑推理核心素养水平一的要求； 2. 通过多种方法证明余弦定理，发展培养学生的数学思想方法，达到数学抽象核心素养水平一的要求； 3.通过解决简单的解三角形问题，巩固学生对余弦定理的理解于与应用，达到数学运算核心素养水平一的要求. 四、教学重难点 教学重点：余弦定理的内容、证明及基本应用. 教学难点：余弦定理的发现及证明. 五、教学过程 1.问题引入 用豆包和剪映生成视频：航海船甲板上，船员手持望远镜观察两座灯塔，背景是海洋和天空。画面从实景渐变为 GeoGebra AI 生成的平面几何模型：- 标注 “船的位置 O”“灯塔 A”“灯塔 B”- 显示已知数据：OB=8 海里（船到 B 灯塔距离），OA=6 海里（船到 A 灯塔距离），∠AOB=60°（两视线夹角）- 用红色问号标注 “AB=？”（待求距离） 问题1：你能将这个实际问题转化为数学问题吗？ 在 ABC中，已知：a，b，∠C，求c 追问：这个三角形是唯一确定的吗？ 设计意图：通过 AI 可视化呈现非直角三角形的边长计算问题，引发学生对 “勾股定理局限性” 的思考，自然导入余弦定理。 2.研究探讨 探究：在中，三个角所对的边分别是，怎样用和表示？ 问题2：在中，记,,, 那么在中，用和表示的本质就是用和向量的夹角来表示，你能表示出来吗？ 因为 故 所以 同理可得 【设计意图】通过探究，由向量证明余弦定理，提高学生分析问题、概括能力. 3.概念生成 通过以上探究，我们得到了三角形边角关系的一个重要定理： 余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即 探究思考：你还能用其它方法证明余弦定理吗？ 问题3：在问题1中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？ 学生解答： 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，根据任意角三角函数的定义，可得则,则有 , 所以 同理可得 问题4：我们发现，当三角形其中一个角为时，余弦定理就是初中阶段所学的勾股定理，那你能否用平面几何方法证明余弦定理呢？ 学生解答： 当为直角时，根据勾股定理得； 当为锐角时，如图1，,, , 在中， ； 当为钝角时，如图2，, , , 在中， ； 综上，. 同理可得: 【设计意图】学生刚学完向量，通过问题2的引导，可以得到问题2的解答，从而得到余弦定理.问题2的解答是利用向量的线性运算和数量积运算，向量还有坐运算，由此设计了问题3，帮助学生更全面的应用向量，在运算过程中需要注意B点坐标的求法.问题4的设置目的是鼓励学生建立数学知识之间的联系，培养学生解题思维的灵活性，也更进一步说明了向量强大之处！ 4.概 ... ...