上海市市北中学2025-2026学年高一上学期11月期中测试数学试题（含答案）

2025学年第一学期期中测试（2025.11） 高一年级 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 填空题(本大题共10题，1-5每题5分，6-10每题6分，满分55分) 1. 已知全集为R，集合，则 2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是= . 3. 方程的解集为 4．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是 5. 若不等式恒成立，则a的取值范围是 6. 设，，则 （结果用a和b表示） 7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数)，如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室．则从药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室． 8．函数的最小值为 . 9．已知实数、满足，则的最小值为 . 10．已知对任意，记表示不大于最大整数，如，，． 设，若，则关于的不等式的解集为 选择题(本大题共3题，每题5分，满分18分) 11．已知，则下列不等式中一定成立的是（ D ） A． B． C． D． 12. 在区间上是严格增函数，且图像关于轴成轴对称的幂函数可以是（ C ） A. B. C. D. 13．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ D ） A． B． C． D． 因为，所以或 因为关于的方程共有5个不同的实数根．所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点． 如图，的图象与直线有2个交点，所以只需的图象与直线有3个交点，所以． 故选：D． 三、解答题(本大题共5题，共计13+13+15+18+18=77分) 14．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分） 设函数． （1）若不等式的解集是，求不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）因为不等式的解集是，所以，， 所以的解集为． （2）因为恒成立，所以．，解得 ． 15．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分） （1）已知正数a满足，，求的值； （2）已知a、b、c均为正数，且，求的值. 解：（1），所以：，所以 （2）设：，则： 所以： 16．（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分） 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价． 解：（1）设长为，因为十字形区域面积为， 所以，解得 因为，所以，因为，所以． （2）四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积， 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价 ， 化简得． 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 17．（本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分） 已知函数，． （1）已知，若，求实数取值范围； （2）若的解集是，求的解集； （3）解关于的不等式. 解：（1） （2），，解集为 （3） 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 18．（本题满分18分，第一小题4分，第二小题8分，第三小题6分） （1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题： 已知关于的 ... ...