2025-2026学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后，直线 与 是 异面直线的是( ) A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 2.函数 = ( )的图象由函数 = cos (2 + )的图象向左平移 个单位长度得到，则 = ( )的图象与直 6 6 1 1 线 = 的交点个数为( ) 2 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发 现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉 线.在平面直角坐标系 中， 的顶点 (0,2)， ( 1,0)，则“ 的欧拉线方程为 = 1”是 “点 的坐标为( 2,2)”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图所示，半径为1的圆 始终内切于直角梯形 ，则当 的长度增加时，以下结论：① 越 来越小；②| + + + |保持不变．它们成立的情况是( ) A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 二、填空题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。 第 1 页，共 11 页 5.生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.两个轮子的自行车在停止运 动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以 固定下来，这些例子都说明了 道理． 6.设复数 满足 ( + 1) = 3 + 2 ( 是虚数单位)，则 等于 ． 7.已知直线 : √ 3 2 = 0，则直线 的倾斜角为 ． 8.函数 ( ) = sin + cos 的最小值为 ． 3 3 9.如图，已知向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则( + ) = ； 10.如图，在直角坐标系中，放置一个直角梯形 ，用斜二测画法作出的直观图的面积为 ． 11.有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10 ，母线长为20 ，在漏斗口的点 处用一根绳子将漏斗挂在墙 面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度 ． 12.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得 棱台的体积为 ． 13.如图，在一个60 的二面角的棱上，有两个点 , ， , 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 的线段，且 = 4 , = 6 , = 8 ，则 的长为 ． 第 2 页，共 11 页 14.如图，正方体 1 1 1 1中， 是棱 的中点， 是侧面 1 1上的动点，且 1 //平面 1 ，则 1 与平面 1 1所成角的余弦值构成的集合是 ． 15.如图，水平放置的正四棱锥形工艺品的高为32 ，底面对角线 长为64 ，在工艺品内部注入了部 分液体，液体深度为12 .现有一根长度为50 的玻璃棒 放在工艺品内部， 的一端置于点 处，另一端 置于侧棱 上的点 ，则 没入液体中部分的长度为 (精确到0.1 )(工艺品外壁厚度、玻璃棒粗细均 忽略不计) 16.已知三棱锥 1 2 3 4的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设 为该三棱锥表面(含棱)上异于顶点 1、 2、 3、 4的点，记 = { | = | |, = 1,2,3,4}.若集合 中有且只有2个元素，则符合条件的点 有 个． 三、解答题：本题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题14分) 已知直线 : + (1 2 ) + 1 = 0． (1)当直线 在 轴上的截距是它在 上的截距3倍时，求实数 的值： (2)当直线 不通过第四象限时，求实数 的取值范围． 18.(本小题14分) 如图，四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥底面 ，点 为 的中点． 第 3 页，共 11 页 (1)证明： //平面 ； 2 (2)若 = 2，三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值． 3 19.(本小题14分) ... ...
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