1.2空间向量基本定理（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理 夯基础 题型1对空间向量基本定理的理解与辨析 1.在长方体ABCD-A B C D 中，可以作为空间向量一个基底的是( ) 2.在空间四点O,A,B,C中,若 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是 ( ) A. O,A,B,C四点不共线 B. O,A,B,C四点共面,但不共线 C. O,A,B,C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 3.已知{a，b，c}为空间的一个基底，则下列向量也能作为空间的一个基底的是 ( ) A. a+b,b+c,a-c B. a+2b,b,a-c C.2a+b,b+2c,a+b+c D. a+c,b+2a,b-2c 题型2 用空间基底表示空间向量 4.如图，在平行六面体 中,E,F 分别为 C D ,A C 的中点, 若 则向量 可用a,b,c表示为 ( ) 5.如图,在空间四边形ABCD 中,AC和BD 为对角线,G为△ABC 的重心,E 是 BD 上一点,BE =3ED,以 为基底，则 题型 3 空间向量基本定理的应用 6.已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且 若M,A,B,C四点共面,则x+y的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.(多选)如图，已知AO⊥平面 OBC, OA=OB=2,OC=3,E为AB 的中点, 则以下说法正确的是 ( ) C. AB与OC 所成角的余弦值为 D. OE与OF 所成角的余弦值为 明易错 易错点 忽视空间向量基本定理的推论的前提而致错 8.已知 P 为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 则实数x的值为 . 9.[2022·广东揭阳普宁勤建学校高二阶段练习]若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是 ( ) A.2a-b,a+b-c,7a+5b+3c B.2a+b,a+b+c,7a+5b+3c C.2a+b,a+b+c,6a+2b+4c D.2a-b,a+b-c,6a+4b+2c 10.(多选)[2021·浙江杭州第二中学高二期中]已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列说法正确的是 ( ) A.存在不全为零的实数x,y,z,使得 xa+ yb+zc=0 B.对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= xa+ yb+ zc C.在a,b,c中,能与a+b,a-b构成空间另一个基底的只有c D.不存在另一个基底{a',b',c'},使得a+2b+3c=a'+2b'+3c' 11.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A B C D 中, π/4，则下列说法正确的是 ( ) 不能构成空间的一个基底 C. BD⊥平面ACC A D.直线BD 与直线AA 所成的角为π/4 12.如图,在三棱锥O-ABC 中,点G 为底面△ABC 的重心,点M 是线段OG上靠近点G的三等分点，过点 M 的平面分别交棱 OA,OB,OC 于点D,E,F,若 则 13.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.设 (1)求证:EG⊥AB. (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值. 14.如图，已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为1,P,Q,R 分别在 AB,CC ,D A 上,并满足 设 (1)用i,j,k表示 (2)设△PQR 的重心为G,用i,j,k表示. (3)当 时，求a的取值范围. 选择/填空题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B D D 题号 7 8 9 10 11 12 答案 ABC B BC BCD 1. C【解析】如图.因为 ,所以AB,AC,GD共面,故A不符合题意；因为 所以 共面，故B 不符合题意；因为 不共面，故C符合题意；因为 共面，故D 不符合题意.选C. 2. B 【解析】因为 }为基底，所以非零向量或， 不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，所以A,C,D 选项说法正确,B错误.故选 B. 3. B 【解析】因为 所以选项A,C,D中的向量共面，不能作为空间的一个基底；对于选项B，假设a+2b,b,a-c共面,则存在λ,μ∈R,使a+2b=λb+μ(a-c),所以 此时无解,所以a+2b,b,a-c不共面，可以作为空间的一个基底.故选 B. 4. D【解析】由题意可得 故选D. 【解析】连接AE，则 6. D 【解析】若M,A,B,C四点共面,则-2-2+x+y=1,即x+y=3.故选 D. 方法总结 设P是平面上任一点，A，B，C是平面上的三点， (P,A,B不共线),则A,B,C三点共线 x+y=1,把此结论类比到空间中，就是：PA,PB,PC不共面,若 则A,B,C,D四点共面 x+y+z=1. 7. ABC 8. 【解析】由题意可得， 又因为P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足 ... ...