2025-2026学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共有 4题，满分 18分，第 1、2题每题 4分，第 3、4题每题 5分。 1.已知 ， ∈ ，则“ 2 = 2”是“3 = 3 ”的( )条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 2.已知圆 ： 2 + 2 + 2 4 + 1 = 0关于直线 + 2 1 = 0对称，则实数 =( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 7 3.设函数 ( ) = sin( + )在区间(0, )恰有三个极值点，两个零点，则 的取值范围是( ) 3 5 13 13 8 5 19 13 19 A. [ , ) B. ( , ] C. [ , ) D. ( , ] 3 6 6 3 3 6 6 6 4.设数列{ }为项数为 ( ≥ 3, ∈ )的严格增数列，且每一项均为正整数.若对于数列{ }中的任意两项 、 (1 ≤ < ≤ )，均有 ≥ ，则项数 的最大值为( ) 36 A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 二、填空题：本题共 12题，第 5-10题每题 4分,第 11-16题，每题 5分，共 54分。 5.集合 = {1,4,5}， = { | = 2 , ∈ }，则 ∩ =_____． 6.已知 ∈ ，若 (1 + ) = 2 ，其中 为虚数单位，则 =_____． 1 7.已知 ∈ ，则不等式 < 1的解集为_____． 8.已知向量 = ( , 1)， = (1, 2)，若 // ，则 的值为_____． 9.设0 ≤ < ，且 = cos( + )为奇函数，则 =_____． 2 10.设 > 0、 > 0且 + = 1，则 的最大值为_____． 11.已知{ }是公差不为0的等差数列， 1 = 3，且 2， 1， 4成等比数列，则 4 =_____． 12.设关于 的不等式| + 3| + | | ≥ 5对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为_____． 1 ( ) 1, < 0 13.设 ( ) = { 2 ，则不等式 (2 1) ≤ ( )的解集为_____． 2, ≥ 0 4 14.在平面直角坐标系 中， 是曲线 = + ( > 0)上的一个动点，则点 到直线 + = 0的距离的最 小值是 ． 第 1 页，共 9 页 15.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界)，其边 界是长轴长为2 ，短轴长为2 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别 为 1、 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船 只经过该海域(船只的大小忽略不计)，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1、 2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是_____． 16.已知 ， 1 是非零不共线的向量，设 = + ，定义点集 = { | = }，当 +1 +1 | | | | 1， 2 ∈ 时，若对于任意的 ≥ 2，不等式| 1 2 | ≤ | |恒成立，则实数 的最小值为_____． 三、解答题：本题共 5小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题14分) 1 在△ 中， = , = 8． 7 (1)若 = 7，求 的值； 11 (2)若 = ，求 的值与角 的大小． 14 18.(本小题14分) 如图，在棱长为4的正方体 1 1 1 1中，点 是正方形 1 1 1 1的中心，点 在棱 1上，且满足 1 = 4 ． (1)求直线 与平面 1 1所成角的大小； (2)设点 在平面 1 上的投影是点 ，求证： 1 ⊥ ． 19.(本小题14分) 在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体 在雨中沿面 (面积为 )的垂直方向作匀速移动，速度为 ( > 0)，雨速沿 移动方向的分速度为 ( ∈ ). 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：① 或 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与| 1 1 | 成正比，比例系数为 ；②其它面的淋雨量之和，其值为 ，记移动距离为 ， 为 移动过程中的总 10 2 淋雨量． 第 2 页，共 9 页 (1)求总淋雨量 的表达式(用含有 、 、 、 的表达式表示)； (2)已知 = 100且 = 1.5，设0 < ≤ 10，0 < ≤ 5，试根据 的不同取值范围，确定移动速度 ，使总淋 雨量 最少． 20.(本小题18分) 2 如图，设双曲线 ： 2 = 1的左顶点为点 ，直线 ： = + 与双曲线 相交于 、 两点，且 、 2 两点均异于点 ． (1)求点 的坐标，及双曲线 的离心率； (2)若线段 的中点为 (2,1)，求直线 的方程； ( ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
