2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年黑龙江省实验中学高三（上）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知集合 = { ∈ | = 2 , ≤ 1}， = { ∈ | = lg( + 1)}，则( ) A. ∩ = { | 1 < ≤ 2} B. ∪ = { |0 < ≤ 2} C. ∪ = { | 1 < ≤ 2} D. ∩ = { |0 < ≤ 2} 2 2.设 为虚数单位，则在复平面内，复数 = 的共轭复数 对应的点位于( ) 1+ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5 3.记向量 = (1,2), = (0,1)，设甲：向量 与向量 + 的夹角为锐角，乙： > ，则甲是乙的( ) 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了 估算圣 索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高约为36 ，在它们之间的地面 上的点 ( , , 三点共线)处测得建筑物顶 、教堂顶 的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶 处测得教堂 顶 的仰角为15°，则可估算圣 索菲亚教堂的高度 约为( ) A. 54 B. 47 C. 50 D. 44 5.已知三棱柱 1 1 1的所有棱长都相等，则直线 1与直线 1所成角的余弦值为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 4 6.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若 // ， // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 // 第 1 页，共 10 页 C. 若 ⊥ ， ， ，则 ⊥ D. 若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 // + , > 0 7.若函数 ( ) = { 有4个零点，则正数 的取值范围是( ) sin( + ), ≤ ≤ 0 3 4 7 7 10 4 7 7 10 A. [ , ) B. ( , ] C. ( , ] D. [ , ) 3 3 3 3 3 3 3 3 8.若正实数 ， 满足 > ，且 > 0，则下列不等式一定成立的是( ) 1 1 A. log < 0 B. > C. 2 +1 < 3 + D. 1 < 1 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，如下判断正确的是( ) A. 若 = ，则△ 为等腰三角形 B. 若 > ，则 > C. 若△ 为锐角三角形，则 > D. 若满足条件 = ， = 2的△ 有两个，则 的取值范围为(1,2) 6 10.已知函数 = ( + 1)是 上的偶函数，且 ( )在[1, +∞)上单调递增， = (log28)， = ( 2)， = ( 2)，则下列说法正确的是( ) A. 函数 = ( )的图象关于直线 = 1对称 B. ， ， 的大小关系是： < < 1 C. 函数 = ( )在区间( ∞, 1]上单调递减 D. 关于 的不等式 (2 ) < ( + 1)解集为( , 1) 3 11.如图，直三棱柱 1 1 1，△ 为等腰直角三角形， ⊥ ，且 = 1 = 2， ， 分别是 ， 1 1的中点， ， 分别是 1， 1上的两个动点，则( ) A. 与 一定是异面直线 1 B. 三棱锥 的体积为定值 3 C. 直线 1 1与 所成角为 2 5√ 5 D. 若 为 1中点，则四棱锥 1 的外接球体积为 6 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.如图所示，已知在水平放置的△ 的斜二测直观图中， ′ ′ = 6， ′ ′ = 3，若该△ 以 为旋转轴，旋转一周，则旋转形成几何体的侧 面积为_____． 第 2 页，共 10 页 13.三棱锥 的顶点都在球 的球面上，且 = 2√ 3, = √ 3, ∠ = ，若三棱锥 的体 6 积最大值为3√ 3，则球 的表面积为_____． 2 , 0 < ≤ 1 14.已知函数 ( ) = {1 ，若0 < < 且满足 ( ) = ( )，则 ( ) + ( )的取值范围是 , > 1 _____． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , , = √ 3 ． (1)求 ； 2√ 2 (2)点 在边 上， 平分∠ ，若 = 4, = ，求△ 的周长． 3 16.(本小题15分) 已知函数 ( ) = + ( ∈ )． (1)若 = 1时，求曲线 = ( )在 = 1处切线的斜率； (2)求 ( )的单 ... ...