【精品解析】特殊三角形之等腰三角形的分类讨论（高、中线、垂直平分线）——浙教版八年级上册培优训练

特殊三角形之等腰三角形的分类讨论（高、中线、垂直平分线）———浙教版八年级上册培优训练 一、选择题 1．（2025八上·绍兴月考）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为6cm和15cm两部分，那么这个等腰三角形的底边长是(　　) A．2 B．1 C．13 D．1或13 【答案】B 【知识点】解二元一次方程组；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为 xcm，ycm，由题意得 或 解得 或 ∵当腰长为4，底边长为13时，4+4<13，不能构成三角形， ∴等腰三角形的腰长为10cm，底边长为1cm. 故答案为： B. 【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为 xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为15，故应该列两个方程组求解. 2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB，交BC于点D，OE∥AC，交BC于点E.图中等腰三角形共有(　　). A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【知识点】等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：∵是等边三角形， ∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，是等腰三角形， ∵等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O， ∴∠ABO=∠OBC=∠BCO=∠ACO=∠CAO=∠BAO=30°， ∴OA=OB，OB=OC，OA=OC， ∴是等腰三角形， ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠BOD=∠ABO=30°，∠ODE=∠ABC=60°，∠COE=∠ACO=30°，∠OED=∠BCA=60°， ∴∠BOD=∠OBC，∠ODE=∠OED，∠COE=∠BCO， ∴BD=OD，OD=OE，OE=CE， ∴是等腰三角形， ∴图中等腰三角形共有7个， 故答案为：B. 【分析】根据等边三角形的性质、角平分线的定义得是等腰三角形，∠ABO=∠OBC=∠BCO=∠ACO=∠CAO=∠BAO，于是判断出是等腰三角形，然后由平行线的性质得∠BOD=∠OBC，∠ODE=∠OED，∠COE=∠BCO，从而判断出是等腰三角形，据此即可求解. 3．（2025八上·诸暨月考）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：依题意，①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上可得：或 故答案为：C． 【分析】根据垂线的定义得，由直角三角形两锐角互余可求得的度数，分两种情况：顶角为锐角时；顶角为钝角时；根据等腰三角形的性质计算即可求解. 4．（2023八上·鄂州期末）已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰顶角的度数为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，由题意可知∠ADE=50°，如下图； ∵DE垂直平分AB ∴BD=AD ∴∠BDE=∠ADE=50° ∴∠A=（180°-50°-50°）=40°； ②当等腰三角形的顶角为钝角时，由题意可知∠ADE=50°，如下图； ∵DE垂直平分AB ∴∠DEA=90° ∴∠BAC=90°+50°=140° 综上所述，等腰三角形的顶角为40°或140°. 故答案为：D. 【分析】根据等腰三角形的性质，顶角分为锐角和钝角进行讨论；根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出顶角的度数；根据三角形的外角性质，亦可求出顶角的度数. 5．（2020八上·巴南月考）已知在ΔABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线BD把ΔABC分成周长差为6的两个三角形， 则ΔABC各边的长分别为 A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解 ... ...