第三章 一元函数的导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算 课标要求 考情分析 1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数形如的导数. 命题形式 多以选择题为主，属于中档题，有时也会出现在解答题的第一问. 常考内容 导数的几何意义. 创新考法 直线与曲线相切的新定义可能成为命题的新考法. 必备知识 自主排查 理一理 1.导数的基本概念 （1）函数在处的导数记作或, 即. （2）函数的导函数 . 2．导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处①_ _ _ _ _ _ _ _ ， 即. 【答案】切线的斜率 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 （为常数） ②_ _ ,且 ③_ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ,且 ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ ,且 ⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】0； ； ； ； ； ； ； 4．导数的运算 （1）⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （3）. 【答案】； 5．复合函数的导数 复合函数的导数与函数，的导数间的关系为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【答案】 常用结论 1.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数. 2.函数在处的导数反映了函数在处的瞬时变化率，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 练一练 1．判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 是函数在附近的平均变化率.（ ） （2） 求时,可先求,再求.（ ） （3） 函数的导数为.（ ） （4） 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. （ ） 【答案】（1） × （2） × （3） × （4） √ 2．（选择性必修第二册P78T2改编）下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,所以 错误；,所以 正确；,所以 错误；,所以 错误. 3．如图，直线是曲线在点处的切线，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题图可知直线 过点,，所以直线 的斜率为，所以. 4．（选择性必修第二册P78T3改编）曲线在处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，所以，又，所以切点坐标为，切线斜率，即曲线 在 处的切线方程为，即. 5．（用结论）观察,,,由归纳推理可得：若定义在上的函数满足,记为的导函数，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由常用结论1可知，偶函数的导函数为奇函数，因此当 是偶函数时，其导函数 为奇函数，故. 核心考点 师生共研 考点一 导数的运算 ［例1］ 求下列函数的导数. （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . 【答案】（1） 【解】. （2） . （3） . （4） . （5） . ［感悟进阶］ 导数的运算方法 (1)求函数的导数先要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． ［对点训练］ 1．（多选）下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.对于，，故 正确；对于，，故 正确；对于，，故 错误；对于，，故 正确. 2．设函数的导函数是.若,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,所以,所以,解得,所以,所以. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程 ［例2］ [2024·全国甲卷]设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得,所以，所以曲线 在点 处的切线方程为，即，切线与两坐标轴的交点分别为 ... ...
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