中小学教育资源及组卷应用平台 3.2.1单调性与最大(小)值 教学设计 一、教学目标 1.①精准理解函数单调性的定义，能结合函数图像准确判断单调区间，明晰“单调区间”与“定义域”的从属关系；②熟练掌握用定义证明函数单调性的“五步流程”，能灵活运用作差变形技巧解决证明问题；③深刻理解函数最大（小）值的定义，掌握“图像法”“定义法”两种求最值的核心方法，能解决简单区间上的函数最值问题。 2.通过“生活实例—图像直观—抽象定义—符号证明—应用迁移”的梯度认知过程，培养学生数形结合的思维能力；借助例题变式与小组探究，提升学生逻辑推理、归纳概括及分类讨论的能力。 3.感受数学从具体到抽象的严谨思维魅力，体会函数性质在描述变化规律中的实用价值，激发学生主动探究的学习热情，培养严谨求实的数学素养。 二、教学重难点 1.教学重点 （1）函数单调性定义的理解与单调区间的判断，尤其是含绝对值、分段函数等复杂函数的单调区间分析。 （2）用定义证明函数单调性的规范步骤：取值、作差、变形、判断符号、下结论，核心是作差后的变形方向与技巧。 （3）函数最大（小）值的定义应用，能结合图像或定义求二次函数、一次函数等常见函数在指定区间上的最值。 2.教学难点 （1）对单调性定义中“任意两个自变量x ,x ”的理解，突破“用特殊值代替任意值”的思维误区。 （2）作差变形的技巧性突破，尤其是分式函数、二次函数等类型的作差后因式分解、配方或通分方法。 （2）含参数函数的单调性判断与最值求解，需精准把握参数对函数图像的影响，合理分类讨论。 （3）区间端点对最值的影响，明确“闭区间”与“开区间”在最值问题上的差异。 三、教学方法与工具 1.教学方法：采用“问题驱动式”教学法，结合启发引导、小组合作探究与讲练结合模式。通过生活情境引发思考，用图像直观辅助抽象，以例题示范规范步骤，靠变式练习深化理解，实现“感知—概括—应用—提升”的教学闭环。 2.教学工具：多媒体课件（动态展示函数图像变化、呈现例题与练习）、几何画板（直观演示单调性与参数的关系）、板书（突出核心定义、证明步骤与思想方法）。 四、教学环节设计 （一）情境导入，激发共鸣 1.展示生活素材：①某快递公司1-12月快递量变化折线图；②某物体沿直线运动的速度-时间图像。 2.递进式提问：①从图像中，你能说出快递量（速度）在哪些月份（时间段）呈“上升”趋势，哪些呈“下降”趋势吗？②“上升”意味着当自变量（时间）增大时，函数值（快递量、速度）如何变化？③这种“上升”“下降”是函数的一种重要性质，如何用数学语言精准描述，而不是仅靠“看图像”？ 3.引出课题：通过学生对生活实例的直观感知，自然引出“函数的单调性”，进而延伸到“单调性与最大（小）值”，激发学生对抽象概念的探究欲望。 （二）新知探究，构建体系 1.函数单调性：从直观到抽象 （1）直观感知：展示三个典型函数图像———f(x)=2x+1（全定义域递增）；②f(x)=x （在(-∞,0]递减，在[0,+∞)递增）；③f(x)=-1/x（在(-∞,0)和(0,+∞)分别递增，但不能说在定义域内递增）。引导学生分组讨论：用“当x增大时，f(x)的变化趋势”描述每个函数的图像特征。 （2）抽象定义：教师引导学生从“具体数值比较”过渡到“任意性比较”———若仅取两个特殊值x f(0)=0，取x =0,x =1时f(0)=0
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