1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系教学设计 一、教学目标 （1）掌握直线的方向向量、平面的法向量定义，理解线面位置关系的向量表征逻辑。 （2）能用方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 （3）能在空间情境中建系求向量，将几何位置问题转化为向量运算问题。 二、教学重难点 1.教学重点 （1）核心概念：直线方向向量、平面法向量的定义及求解方法。 （2）判定方法：线线、线面、面面平行与垂直的向量判定定理及应用。 （3）解题流程：“建系—求向量—用定理—得结论”的完整解题链条。 2.教学难点 （1）平面法向量的求解：理解法向量与平面的垂直关系，掌握待定系数法求法向量的技巧。 （2）几何关系的向量转化：将线面、面面位置关系准确转化为向量间的平行或垂直关系。 （3）复杂情境的建系：针对非特殊几何体，选择合适原点与坐标轴建立坐标系。 三、教学方法与工具 1.教学方法：采用“问题驱动法+案例探究法+讲练结合法”，以递进问题引导思考，结合典型案例示范方法，通过即时练习巩固应用。 2.教学工具：多媒体课件（展示空间几何体、向量与线面关系动态图）、空间坐标系模型、向量判定定理卡片、小组探究任务单。 四、教学过程 （一）情境导入：向量工具的价值凸显 情境呈现：展示两张图片———��工人安装墙面瓷砖，需判断瓷砖边缘与地面是否垂直；②建筑图纸中，判断两个墙面是否平行。 问题链引导： “在平面中，我们用向量可判断直线平行或垂直，空间中是否适用？” “要判断瓷砖边缘与地面垂直，需用什么向量表示直线和平面？” “如何通过向量运算判断空间中直线与平面、平面与平面的位置关系？” 课题引出：教师总结：“空间中直线与平面的位置关系，可通过特殊向量来刻画和判定。本节课我们将学习用空间向量研究直线、平面的位置关系，掌握向量工具的应用方法。” 【设计意图】通过生活情境激活学生向量应用的已有认知，制造空间几何问题的探究需求，自然引出课题。 （二）探究新知一：刻画直线与平面的特殊向量 1.直线的方向向量 概念构建：展示空间中一直线，在直线上取两点、，引出向量。提问：“直线上任意两点构成的向量与直线的方向有什么关系？”引导学生总结：直线的方向向量是指与直线平行的非零向量，一条直线有无数个方向向量，且这些向量互相平行。 即时举例：在空间直角坐标系中，直线过点且方向向量为，则直线上任意一点满足，即，体现方向向量对直线的刻画作用。 2.平面的法向量 概念探究：展示空间中一平面，作垂直于平面的直线，取直线的方向向量。提问：“向量与平面内的任意直线有什么关系？”引导学生归纳：平面的法向量是指垂直于平面的非零向量，一个平面有无数个法向量，且这些向量互相平行。 求解示范：已知平面过三点、、，求平面的法向量。 步骤1：求平面内两个不共线向量，，； 步骤2：设平面法向量为，根据法向量定义，且，故且，即，； 步骤3：取，得法向量，验证其与平面垂直。 方法总结：求平面法向量的核心是“找平面内两不共线向量，利用垂直关系列方程组，取一组非零解”。 【设计意图】从“直线方向”到“平面垂直方向”，逐步构建核心向量概念，结合实例示范求解方法，为后续判定应用奠定基础。 （三）探究新知二：线线位置关系的向量判定 关系分析：空间中两条直线的位置关系有平行、垂直、异面，重点研究平行与垂直。引导学生思考：“线线平行或垂直，对应的方向向量有什么关系？” 判定定理总结： 线线平行：设直线、的方向向量分别为、，则（或重合）的充要条件是，即存在实数，使； 线线垂直：的充要条件是，即。 典例应用：已知空间直角坐标系中，直线过点、，直线过点、，判断与的位置关系。 求解：，，显然，故 ... ...