第一章 直角三角形的边角关系【小结与复习】 课件(共45张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：第一章 直角三角形的边角关系 小结与复习 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：包含直角三角形、三角函数符号、测高场景的综合知识示意图 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：章节知识框架 第 3 页：核心知识点 1 锐角三角函数 定义（在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 对边分别为 a、b、c）： 三角函数 定义表达式 取值范围（0°<∠A<90°） sinA sinA = a/c 0 < sinA < 1 cosA cosA = b/c 0 < cosA < 1 tanA tanA = a/b tanA > 0 性质： 互余角的三角函数关系：sinA = cos (90°-A)，cosA = sin (90°-A)，tanA = cot (90°-A)（cotA=1/tanA）。 增减性：当 0°<∠A<90° 时，sinA、tanA 随∠A 增大而增大，cosA 随∠A 增大而减小。 第 4 页：核心知识点 2 特殊角的三角函数值 特殊角三角函数值表： 角度 θ sinθ cosθ tanθ 30° 1/2 √3/2 √3/3 45° √2/2 √2/2 1 60° √3/2 1/2 √3 记忆技巧： 30°、45°、60° 的 sin 值依次为√1/2、√2/2、√3/2，cos 值与 sin 值 “倒序对应”。 tan 值 = sin 值 /cos 值，30°tan 值为√3/3，45°tan 值为 1，60°tan 值为√3。 应用：直接代入计算含特殊角的三角函数表达式，如计算 sin60°+2tan30°=√3/2 + 2×(√3/3)=7√3/6。 第 5 页：核心知识点 3 解直角三角形 定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程（已知元素需满足 “两个且至少一个是边”）。 求解依据： 两锐角关系：∠A + ∠B = 90°。 三边关系（勾股定理）：a + b = c 。 边角关系（三角函数）：sinA=a/c、cosA=b/c、tanA=a/b。 两类基本题型： 题型 已知条件 求解步骤 1 一边一角 1. 用互余求另一角；2. 选三角函数求未知边 2 两条边 1. 用勾股定理求第三边；2. 用三角函数求锐角 第 6 页：核心知识点 4 三角函数的实际应用 四大典型场景： 仰角俯角问题：视线与水平线的夹角，构建直角三角形时需注意测角仪高度，物体总高度 = 垂直高度 + 仪器高度。 坡角坡度问题：坡度 i = 垂直高度 / 水平宽度 = tanα（α 为坡角），常结合勾股定理求斜坡长度。 方位角问题：以正北 / 正南为基准描述方向，先确定三角形内角，再判断是否为直角三角形求解。 测高问题：分 “底部可到达”（单观测点，用 tanα= 高度 / 水平距离）和 “底部不可到达”（双观测点，列方程组求解）。 通用解题流程：审题意→画图形→标元素→选公式→算结果→验答案。 第 7 页：典例精讲 综合应用题 例题：如图，某景区有一座塔 AB，在塔底 B 的正前方水平地面上有一点 C，测得塔顶 A 的仰角为 60°，沿 CB 方向后退 20m 到达点 D，测得塔顶 A 的仰角为 30°，求塔 AB 的高度（结果保留根号）。 解答步骤： 设未知数：设 AB=x m，在 Rt△ABC 中，∠ACB=60°，则 BC=AB/tan60°=x/√3。 在 Rt△ABD 中：∠ADB=30°，则 BD=AB/tan30°=x√3。 找等量关系：BD - BC = CD=20m，即 x√3 - x/√3=20。 解方程：通分得 (3x - x)/√3=20 → 2x=20√3 → x=10√3。 结论：塔 AB 的高度为 10√3 m。 思路提炼：利用两次仰角构建两个直角三角形，通过公共边（塔高）建立方程求解，适用于 “底部可到达但需两次观测” 的场景。 第 8 页：易错警示与避坑指南 常见易错点： 三角函数定义混淆：误将 “邻边”“对边” 判断错误（如在 Rt△ABC 中，求 sinB 时误用 a/c，正确应为 b/c）。 特殊角值记错：如将 sin30° 记为√3/2，tan60° 记为√3/3，建议通过表格或图像强化记忆。 忽略实际细节：测高时忘记加测角仪高度，坡度问题中混淆 “垂直高度” 与 “斜坡长度”。 方位角理解偏差：将 “北偏东 30°” 与 “东偏北 30°” 混淆，需明 ... ...