26.1 二次函数 课件(共33张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：24.2.2 垂径分弦（垂径定理） 副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导 推论拓展 综合应用 配图：左侧为垂径定理核心图形（直径 CD⊥弦 AB 于 E，标注 AE=BE、⌒AC=⌒BC、⌒AD=⌒BD），右侧为实际应用场景（圆弧形桥拱，标注跨度、拱高） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及其推论（“知二推三”），明确定理的适用条件与结论之间的逻辑关系。 能力目标：能运用垂径定理解决 “求弦长、圆心距、半径” 等几何计算问题，通过定理证明培养逻辑推理能力，提升几何图形分析与辅助线构造能力。 素养目标：体会 “从图形对称性推导定理” 的数学思想，感受垂径定理在实际场景中的应用价值，培养严谨的数学思维与数形结合意识。 第 3 页：情境导入 圆的轴对称性与垂径现象 复习回顾： 圆是轴对称图形，其对称轴是什么？（任意一条经过圆心的直线，即直径所在的直线） 生活情境（配图 + 动手操作）： 对折圆形纸片：将圆形纸片沿直径 CD 对折，观察直径两侧的部分完全重合，若圆上有一条弦 AB 与 CD 垂直交于 E，对折后 A 与 B、⌒AC 与⌒BC、⌒AD 与⌒BD 均重合； 桥拱问题：圆弧形桥拱的跨度（弦长）为 16m，拱高（圆心到弦的距离与半径的差值）为 4m，如何计算桥拱的半径？ 思考提问： 垂直于弦的直径，除了是圆的对称轴，还能对弦和弧产生什么影响？ 若已知直径垂直于弦，能否推出 “直径平分弦”“直径平分弧”？反之，若已知直径平分弦，能否推出 “直径垂直于弦”？ 第 4 页：核心模块 1 垂径定理的推导与证明 1. 定理探究（基于圆的轴对称性） 操作步骤： 画⊙O，任取一条弦 AB（非直径），作直径 CD⊥AB 于点 E； 沿直径 CD 对折⊙O，观察弦 AB 与弧 AC、AD 的重合情况： 弦 AB 被点 E 平分（AE=BE）； 弧 AC 与弧 BC 重合（⌒AC=⌒BC）； 弧 AD 与弧 BD 重合（⌒AD=⌒BD）。 2. 垂径定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言（结合图示：⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，CD⊥AB 于 E）： ∵ CD 是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE（平分弦）， ⌒AC=⌒BC（平分弦所对的劣弧）， ⌒AD=⌒BD（平分弦所对的优弧）。 3. 定理证明（逻辑推理，非折叠验证） 已知：如图，⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E。 求证：AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。 证明： 连接 OA、OB（半径），∵ OA=OB（同圆半径相等），∴ △OAB 是等腰三角形； 又∵ CD⊥AB，根据 “等腰三角形三线合一”，∴ AE=BE（等腰三角形底边上的高平分底边）； 在⊙O 中，∵ OA=OB，OE=OE，AE=BE，∴ △OAE≌△OBE（SSS）； ∴ ∠AOE=∠BOE，故⌒AC=⌒BC（等圆心角对等弧）； ∵ ∠AOD=180°-∠AOE，∠BOD=180°-∠BOE，∴ ∠AOD=∠BOD，故⌒AD=⌒BD。 4. 关键提醒 定理中的 “直径” 可推广为 “过圆心的直线”（直径是过圆心的特殊直线）； 若弦为 “直径”，过圆心的直线垂直于直径时，虽满足 “平分直径”，但无特殊意义（任意直径互相平分），故定理常针对 “非直径的弦” 讨论。 第 5 页：核心模块 2 垂径定理的推论（知二推三） 1. 推论本质 垂径定理的核心是 “圆的轴对称性”，对于一个圆和一条直线，若直线满足以下五个条件中的任意两个，则必满足其余三个（简称 “知二推三”）： ① 过圆心（直线经过圆心）； ② 垂直于弦（直线与弦垂直）； ③ 平分弦（直线平分弦，弦非直径）； ④ 平分弦所对的劣弧（直线平分弦对应的劣弧）； ⑤ 平分弦所对的优弧（直线平分弦对应的优弧）。 2. 常见推论组合示例 已知条件 推导结论 应用场景 ① 过 ... ...