(
课件网) 第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理 1.掌握直角三角形的勾股定理的逆定理. 2.能够运用勾股定理的逆定理解决问题. 3.了解勾股数的概念. 说一说：勾股定理:“如果直角三角形的两条直角边分别为a， b，斜边为c，那么a +b =c .”它的逆命题是什么？ 如果三角形的三条边a，b，c满足 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形. 逆命题： 真命题 如何证明呢 有一个角是直角或两个角互余. 想一想：判定一个三角形是直角三角形的方法有哪些？ 证一证：如图，在△ABC中，已知AB=c，BC=a，AC=b，且a +b =c ，求证△ABC是直角三角形. A B C a b c A' B' C' a b ③只需证△ABC≌△A′B′C′ ②只需证∠C 是直角 ①要证△ABC 是直角三角形 构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′ 证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b. 在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得， A'B' =a +b . 因为a +b =c ，所以A'B'=c ，即A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C中， BC=B'C'=a,AC=A'C'=b，AB=A'B'=c, 所以△ABC≌△A'B'C'(边边边). 因此∠C=∠C'=90°. 所以△ABC是直角三角形. A B C a b c A' B' C' a b 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 该定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 勾股定理的逆定理： 要点归纳 勾股定理与逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 区别 联系 两者都是三角形的三边的平方关系 在 Rt△ABC 中，∠C = 90° a2 + b2 = c2 在 △ABC 中，a2 + b2 = c2 ∠C = 90° 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“a2+b2=c2”，即由“形”到“数”. 勾股定理逆定理以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”. 例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a = 6， b = 8，c = 10； (2) a = 12，b = 15，c = 20. 分析： 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 解：(1) 因为 62 + 82 =100，102=100，所以 62 + 82 =102. 因此这个三角形是直角三角形. (2) 因为122 + 152 = 369，202 =400，所以122 + 152≠202. 因此这个三角形不是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数. (1) a = 6， b = 8，c = 10； (2) a = 12，b = 15，c = 20. 例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长. 解：在 △ABD 中，AB =10，BD = 6，AD = 8， 因为 6 + 8 = 10 ，即 BD + AD = AB ， 所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB = 90°. 所以∠ADC =180° -∠ADB = 90°. 在Rt△ADC中，DC = AC -AD ， 所以 DC = = 15. D 2．若△ABC中，BC＝13，AC＝5，AB＝12，则下列判断正确的是( ) A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．△ABC是锐角三角形 A 3.下列各组数中，不是勾股数的是( ) A．13，12，5 B．9，40，41 C．12，16，20 D．5，7，9 D 4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 C.a2=c2-b2 D.a∶b∶c=3∶4∶6 D 提示：判断一个三角形是不是直角三角形，1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方； 2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余. 5. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点 ... ...
