5.4 三角函数的图象与性质 第3课时 三角函数的图象与性质 举一反三讲义（教师版+学生版）

5.4 第三课时 三角函数的图象与性质 【题型1】正切函数的定义域、周期性与奇偶性 2 【题型2】正切函数的图象与对称性 3 【题型3】正切函数的单调性与最值(值域) 5 【题型4】正切函数图象与性质的综合应用 7 一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性 1.周期性：由诱导公式tan(x+π)=tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π. 2.奇偶性：由诱导公式tan(-x)=-tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数. 二、正切函数图象与对称性 正切函数的对称中心为(k∈Z). 三、正切函数的单调性与最值(值域) 1.单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增. 2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R. （1）注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T=. （2）正切函数只有对称中心，没有对称轴. 【题型1】正切函数的定义域、周期性与奇偶性 （2025春 汉中月考）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于x不等式求解即可． 【解答】解：由xkπ，k∈Z，可得x≠kπ，k∈Z． 所以函数f（x）＝tan（x）的定义域为． 故选：A． 方法点拨 (1)判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠+kπ，k∈Z. (2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 ①一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=，常常利用此公式来求周期. ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 【变式1】（2025秋 河北月考）若点是函数f（x）＝tan（x﹣φ）的图象的一个对称中心，则φ的最小正值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025 雅安模拟）下列函数中为奇函数的是（　　） A．y＝x+1 B．y＝cosx C．y＝tan2x D． 【变式3】（2025秋 青岛月考）函数的最小正周期为（　　） A． B． C．π D．1 【题型2】正切函数的图象与对称性 （2025 新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的对称中心可得a的表达式，再由a＞0可得a的最小值． 【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z， 因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°． 故选：C． 方法点拨 正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键. 【变式1】（2025秋 安徽月考）若函数y＝tanx的图象与直线x＝a没有交点，则|a|的最小值为（　　） A．0 B． C．π D．2π 【变式2】（2025春 南昌期末）若点（a，0）（a＞0）是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025春 沙河口区月考）函数在某一周期内的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【题型3】正切函数的单调性与最值(值域) （2025 新蔡县模拟）下列区间中，函数单调递减的区间是（　　） A． B． C． D．（0，π） 【答案】A 【分析】根据正切函数的性质即可求解． 【解答】解：， 因为tanu的递增区间为， 而f（x）的递减区间对应的递增区间， 所以令：，解得（k∈Z）， 当k＝0时，单调递减区间为． 故选：A． 方法点拨 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 当ω>0时，把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z即可；当ω<0时 ... ...