5.4 三角函数的图象与性质 第2课时 三角函数的图象与性质 举一反三讲义（教师版+学生版）

5.4 第二课时 三角函数的图象与性质 【题型1】利用单调性比较大小 2 【题型2】求正弦函数、余弦函数的单调区间 4 【题型3】求正弦函数、余弦函数的最值(值域) 7 【题型4】形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题 10 【题型5】函数性质的综合应用 12 一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数余弦函数图象值域［-1，1］［-1，1］单调性在， 上单调递增，在 上单调递减在［-π+2kπ，2kπ］上单调递增，在［2kπ，π+2kπ］上单调递减最值当x=+2kπ时，ymax=1； 当x=-+2kπ时，ymin=-1当x=2kπ时，ymax=1； 当x=π+2kπ时，ymin=-1 (1)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. (2)利用单调性，可以比较同一个单调区间内同名三角函数值的大小. 【题型1】利用单调性比较大小 （2025春 北京期中）已知，，，则（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意得a＝sin（）＝sin（﹣4π）＝sin， ，， 结合正弦函数在（，）上是增函数， 可得，所以b＞a＞c． 故选：B． 方法点拨 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 【变式1】（2025春 沈阳月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】C 【分析】首先转化，再利用y＝sinx的单调性判断大小． 【解答】解：∵， ∵y＝sinx在单调递增，， ∴，即b＜c＜a． 故选：C． 【变式2】（2024秋 龙港区月考）比较cos与cos的大小　coscos　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用诱导公式先化简式子的值，再利用余弦函数的单调性，得出结论． 【解答】解：∵coscos（）＝cos，coscos（）＝cos， 而函数y＝cosx在（0，）上是减函数，，∴coscos，即 coscos， 故答案为：coscos． 【变式3】（2024 北京模拟）cos1，cos2，cos3的大小关系是（　　） A．cos1＞cos2＞cos3 B．cos1＞cos3＞cos2 C．cos3＞cos2＞cos1 D．cos2＞cos1＞cos3 【答案】A 【分析】利用余弦函数的单调性即可判断cos1，cos2，cos3的大小关系． 【解答】解：∵余弦函数y＝cosx在（0，π）上单调递减， 又0＜1＜2＜3＜π， ∴cos1＞cos2＞cos3． 故选：A． 【题型2】求正弦函数、余弦函数的单调区间 （2025春 永州期中）函数y＝sinπ的单调递增区间是（　　） A．[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） B．[4k，4k+2]（k∈Z） C．[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） D．[2k，2k+2]（k∈Z） 【答案】B 【分析】利用诱导公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性即可得到结论． 【解答】解：由数y＝sinπ＝sin（）＝﹣cos， 由2kπ2kπ+π，k∈Z， 解得4k≤x≤4k+2，k∈Z， 故函数y＝sinπ的单调递增区间是[4k，4k+2]（k∈Z）， 故选：B． 方法点拨 求正、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此. 【变式1】（2024秋 房县期末）已知函数，则f（x）的增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的增区间可以通过分析正弦函数的单调性得到． 【解答】解：正弦函数在区间上单调递增，其中k为整数， 将代入上述区间，得到， 解此不等式，得到， 因 ... ...