5.5 第二课时 三角恒等变换 【题型1】两角和与差的正切公式 3 【题型2】两角和与差的正切给值求值(角) 4 【题型3】两角和与差的正切公式的综合应用 5 【题型4】二倍角的正弦、余弦、正切公式 7 【题型5】利用二倍角公式给值求值 8 【题型6】倍角公式的综合运用 9 一、两角和与差的正切公式 1.两角和的正切公式 tan(α+β)=，其中α，β，α+β≠kπ+(k∈Z)，简记作T(α+β). 2.两角差的正切公式 tan(α-β) =，其中α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)，简记作T(α-β). 3.T(α+β)的变形： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)； tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)； tan αtan β=1-. 4.T(α-β)的变形： tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β) =tan(α-β)； tan αtan β=-1. 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦公式 sin 2α=2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2.二倍角的余弦公式 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3.二倍角的正切公式 tan 2α=，其中α，2α≠kπ+(k∈Z)，简记作T2α. (1)只有当α，β，α-β，α+β≠kπ+(k∈Z)时，上述公式才能成立. (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”. (3)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. (4)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α+β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想. (5)正切二倍角的范围：α≠+且α≠+kπ(k∈Z). (6)常见二倍角公式的变形：cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)； 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α=sin 2α；cos2α=；sin2α=. 升幂公式：1+cos 2α=2cos2α；1-cos 2α=2sin2α. 【题型1】两角和与差的正切公式 （2025春 旌阳区月考）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合和差角公司及诱导公式检验各选项即可判断． 【解答】解：tan15°＝tan（45°﹣30°）2，A错误； tan120，B错误； tan30°，C错误； tan75°＝tan（45°+30°）2，D正确． 故选：D． 方法点拨 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan ”“=tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 【变式1】（2024春 城关区期中） 的值等于（ ） A．2 B．2 C．1 D．﹣1 【变式2】（2025春 红河州期中）tan15°﹣tan75°＝（ ） A．﹣4 B．﹣6 C． D． 【变式3】（2024 新课标Ⅰ）tan255°＝（ ） A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．2 【题型2】两角和与差的正切给值求值(角) （2025春 大连期中）已知tan（α+β），tan（），则tan（）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可化简求值得解． 【解答】解：∵tan（α+β），tan（）， ∴tan（）＝tan[（α+β）﹣（）]． 故选：C． 方法点拨 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 【变式1】（2024春 襄阳期末）已知tan（α）＝2，tan（β）＝﹣3，则tan（α﹣β）＝（ ） A．1 B． C． D．﹣1 【变式2】（2023秋 丰台区期末）已知，则tan ... ...
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