第五章 三角函数 学案（共6讲）

第 5章 三角函数 2026版 目录 第 1讲 任意角 1 第 6讲 辅助角公式和三角函数的综合应用 63 1. 角的概念 1 1. 基础知识 63 2. 弧度制 4 2. 例题讲解 63 3. 弧长和面积公式 5 3. 综合应用 一题十问 64 第 2讲 三角函数的定义同角的三角函数关系8 4. 三角函数的解答题 67 1. 三角函数的定义 8 5. 综合问题 恒等变换 70 2. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符 6. 综合问题 函数与方程 70 号 10 3. 同角的三角函数关系 11 第 3讲 三角恒等变换 16 基础知识 16 1. 知识点一　两角和与差的余弦公式 16 2. 知识点二　两角和与差的正弦公式 16 3. 知识点三 两角和与差的正切公式 16 4. 知识点 4 二倍角公式 16 例题讲解 16 1. 公式的直接应用 17 2. 给值求值 18 3. 给值求角 21 4. 两角和与差的正切公式的综合应用 23 5. 化简与证明 24 课后练习 25 第 4讲 三角函数的图象与性质 29 1. 三角函数的定义域 30 2. 三角函数的值域 (最值) 32 3. 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 36 4. 三角函数的单调性 41 5. 根据单调性求ω的范围 43 第 5讲 y=Asin(ωx+ φ)的图像与性质 48 基础知识 48 1. 函数 y= Asin(ωx+ φ)的图象的画 法 48 例题讲解 48 1. 五点法画图 48 2. 优化后的五点法作图 51 3. 图像的平移和伸缩变化过程 52 4. 平移量的计算 55 5. 解析式的求法 57 第1讲 任意角 1.角的概念 知识点 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O 是角的顶点，射线OA，OB分别是角 α的始边和终边. (2)按照角的旋转方向，分为如下三类： 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 象限角：终边在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角. 例题1.下列说法正确的是 ( ) A. 终边相同的角相等 B. 相等的角终边相同 C. 小于 90°的角是锐角 D. 第一象限的角是正角 【答案】B 【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于 90° 的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误，故选：B. 例题2.时钟走了 3小时 20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 【答案】 -100° -1200° 【详解】因为时针每小时转 30°，分针每小时转 360°，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转 过的角度数为-3 13 × 30° =-100°，分针转过的角度数为-3 1 3 × 360° =-1200°． 例题3.象限角 ① α是第一象限角可表示为 {α 2kπ<α<2kπ+ π2 ，k∈Z ； ② α是第二象限角可表示为 α 2kπ+ π2 <α<2kπ+π，k∈Z ； ③ α是第三象限角可表示为 α 2kπ+π<α<2kπ+ 32 π，k∈Z ； ④ α是第四象限角可表示为 α 2kπ+ 32 π<α<2kπ+2π，k∈Z 或 {α 2kπ- π 2 <α<2kπ，k∈Z ． 例题4.非象限角 如果角的终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在 x轴非负半轴上的角的集合可记作 {α|α=2kπ，k∈Z} ； ②终边在 x轴非正半轴上的角的集合可记作 α|α=2kπ+π，k∈Z ； 1 ③终边在 y轴非负半轴上的角的集合可记作 α α=2kπ+ π 2 ，k∈Z ； ④终边在 y轴非正半轴上的角的集合可记作 α α=2kπ+ 32 π，k∈Z ； ⑤终边在 x轴上的角的集合可记作 {α|α=kπ，k∈Z} ； ⑥终边在 y轴上的角的集合可记作 α α=kπ+ π 2 ，k∈Z ； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 α α= kπ2 ，k∈Z ． 例题5.终边相同的角： 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 , 连 同 角 α 在 内 , 可 构 成 一 个 集 合 S = {β|β=α+2kπ,k∈Z}或{β|β=α+k·360°,k∈Z} . 例题6.如图所示，写出顶点在原点， ... ...