中小学教育资源及组卷应用平台 2026高考数学第二轮专题 专题突破练24 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 必备知识夯实练 1.(2025湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(2),f(lo2),f(log23)的大小关系是( ) A.f(lo2)
1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 4.(2025湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x+cos x,若f(ln x)0,求函数f(x)在区间[t,2t]上的最大值. 关键能力提升练 6.(15分)(2025广东江门一模)已知函数f(x)=ln(|x|+a)+b|x|. (1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=-1时,求函数f(x)的极值. 7.(17分)(2025浙江杭州二模)已知函数f(x)=xex-ax2-ax(a∈R). (1)若a=0,求f(x)的极小值; (2)当a>时,求f(x)的单调递增区间; (3)当a>0时,设f(x)的极大值为g(a),求证:g(a)≥-. 核心素养创新练 8.(17分)(2025山东青岛、淄博二模)函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,导函数分别为f'(x),g'(x),若在定义域内均有f'(x)≤g'(x),则称y=f(x)是y=g(x)的“DT—函数”. (1)判断y=-x3-x是否为y=cos x的“DT—函数”,并证明; (2)设y=f(x)和y=h(x)为定义在R上的函数,已知f(-x)=f(x),g(x)=h(x)+h(-x),f(x)是g(x)的“DT—函数”,证明:g(x)-f(x)=c(c为常数); (3)若-10,证明:f(x)是g(x)的“DT—函数”. 答案： 1.A 解析 当x∈R时,f(-x)=(-x)2-2cos(-x)=x2-2cos x=f(x),所以f(x)为偶函数. 又f'(x)=2x+2sin x,当x>0时,令g(x)=2x+2sin x,则g'(x)=2(1+cos x)≥0, 所以f'(x)在(0,+∞)内单调递增, 所以f'(x)>f'(0)=0, 所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,f(lo2)=f(-log32)=f(log32), 又01,log230,则a>0, 令g'(a)<0,则a<0, 所以g(a)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增, 所以g(a)min=g(0)=1, 所以b-a的最小值为1.故选B. 3.AD 解析 由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确; 当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误; 任何三次函数不存在对称轴,C错误; f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确. 故选AD. 4.(0,e) 解析 因为f(x)=x+cos x,所以f'(x)=1-sin x≥0, 所以函数y=f(x)在R上单调递增, 所以f(1)>f(ln x),等价于解得00,得0e, 所以f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 故当x=e时,f(x)有极大值f(e)=+1,无极小值. (2)由(1)知当2t≤e且t>0,即00在[t,2t]上恒成立,函数f(x)在[t,2t]上单调递增, 所以f(x)max=f(2t)=+1; 当t0,当x∈(e,2t)时,f'(x)<0, 所以函数f(x)在(t,e)内单调递增,在(e,2t)内单调递减, 所以f(x) ... ... 
