4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件（ 30页 ） 2025-2026学年人教A版2019高中数学必修第一册

(课件网) 4.5.2 用二分法求方程的近似解 1.通过求具体方程的近似解了解二分法. 2.根据具体函数图象，能够借助计算器或信息技术用二分法求方程的近似解. 生活情景：如何发现“假币” 在24枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币 第一次 假 假 第二次 第三次 第四次 思想：一分为二，逐步缩小范围，逼近准确值. 思考1：我们已经知道，函数f(x)=ln x+2x 6在区间(2，3)内存在一个零点.进一步地，如何求出这个零点呢 2 3 发现：如果能像称金币一样，将零点所在的范围尽量缩小，并借助零点存在定理，就能得到零点的近似值！ 已知函数f(x)=ln x+2x 6在区间(2，3)内存在一个零点. 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. a b 探究一　二分法的概念 小组活动：根据以上不断取区间中点的方法，借助如下表格，用计算 工具尝试确定该零点的近似值， (2，3) (2.5，3) (2.5，2.75) (2.5，2.625) (2.5，2.562 5) (2.531 25，2.562 5) (2.531 25，2.546 875) (2.531 25，2.539 062 5) 取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈ 0.084. 因为f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5，3)内. 再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512. 因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内. 由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了. 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小. (2，3) 2.5 0.084 1 (2.5，3) 2.75 0.512 0.5 (2.5，2.75) 2.625 0.215 0.25 (2.5，2.625) 2.562 5 0.066 0.125 (2.5，2.562 5) 2.531 25 0.009 0.0625 (2.531 25，2.562 5) 2.546 875 0.029 0.03125 (2.531 25，2.546 875) 2.539 062 5 0.010 0.015625 (2.531 25，2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001 0.007813 如下表所示，重复步骤，零点所在的范围越来越小. 我们可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5 2.531 25|=0.007 812 5<0.01， 所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值， 也可以将 x=2.531 25 作为函数 f(x)=ln x+2x 6 零点的近似值， 也即方程 ln x+2x 6=0 的近似解. 二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 判断一个函数能否用二分法的依据 其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点. 归纳总结 合作与交流： (1)二分法所求出的方程的解都是近似解吗 不是，如函数f(x)=x 2用二分法求出的解就是精确解. (2)是否所有的函数都可以用二分法求近似零点 不是，如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值，如f(x)=|x|. (3)用二分法最后一定能求出函数的零点吗 不能，只有达到精确度后，所得区间内任一数才均可视为零点的近似值. (4)二分法的解题原理是什么 函数零点存在定理. 解：A中，函数无零点.B和D中，函数有零点，但它们在零点左右两侧的函数值符号均相同，因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中，函数的图象是一条连续不断的曲线，图象与x轴有公共点，并且在零点的左右两侧的函数值符号相反，故选C. 下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　) C 做一做1： 1.若函数f(x)的图象如图所示，则其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A.4，4 B.3，4 C.5，4 D. ... ...