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课件网) 5.2.1.1 三角函数的定义 学习目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 2.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦值、余弦值、正切值. 新课引入 0 A P α ⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，当角确定时，终边OP的位置就确定了.这时，射线OP与⊙O的交点P也就确定了. 借助角的大小刻画点P的位置变化情况. 新课学习 以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系点的坐标为点的坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为. 探究1： 当时，点的坐标是什么？当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？(先作出图形，再尝试写出相应的坐标) 当时，点的坐标是 当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是 它们都是唯一确定的. 探究2: 一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？ 任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的．所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数． 新课学习 设α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点． （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； （2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； （3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切， 记作，即 新课学习 当 +（）时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于0，所以=无意义．除此之外，对于确定的角,也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 新课学习 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．通常将它们记为： 正弦函数 , ； 余弦函数 , ； 正切函数 ,{|} 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 新课学习 探究 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设(0， )，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为，与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 在直角三角=, = =b，又=b,故. 对于余弦、正切也有相同的结论． M 例题剖析 例1 求的正弦、余弦和正切值 解：在直角坐标系中，作∠AOB= ． 易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为( ，-) 所以，=- ，=，=- ． 例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为． 求证：== =. 证明：如图，设角α的终边与单位圆交于点．分别过点作轴的垂线垂足分别为则 于是 = 即||=. 因为与同号，所以= ， 即 = . 同理可得= = . 例题剖析 方法提炼 利用三角函数的定义求角的三角函数值 （1）若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值 （2）若已知角终边上的一点为单位圆上的点,则. （3）若已知角终边上的一点单位圆上的点，则. 随堂小测 1、已知角的终边与单位圆的交点P（，-），则等于 （ ） A. B.- C. D.- 由三角函数的定义= - ，= = - B 2、已知角的终边过点，求的三个三角函数值. 随堂小测 解：由已知可得：于是 ， ， . 3、（1）已知角的终边上有一点，且 ,求的值； 随堂小测 解：，，所以= 又所以，又所以是第一或第二象限角. 当是第一象限角时， ，, 则+=； 随堂小测 当是第二象限角时， ，, 则+=； 若已知角的终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论. 3、（2）已知角的终边上落在直线上，求的值； 随堂小测 解：直线，即经过第二、四象限. 在第二象限取直线上的点（-1，）， ，所以 ，, 在第四象限取直线上的点（1，-）， ，所以 ，, 随堂小测 课堂总结 三角函数的定义 终边与单位圆 的交点 角终边一点）（） . ... ...
