上海市南洋中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含部分答案）

南洋中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分52分，1-8题每题4分，9-12题每题5分） 1．若两条直线没有公共点，则它们的位置关系是_____． 2．半径为2的球的体积为_____． 3．线段在平面的一侧，它的两个端点、到平面的距离分别为和，则此线段中点到平面的距离为_____． 4．正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为_____． 5．设斜线段所在直线与平面所成角的大小为，斜线段长为2，则该斜线段在平面内的投影的长是_____． 6．如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为_____． （第6题） （第7题） 7．如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为_____． 8．给定空间三点、、．若向量与向量、都垂直，且，则向量的坐标为_____． 9．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为16cm，深为4cm的空穴，则这个球的表面积为_____cm． 10．棱长为的正四面体中，为棱的中点，则_____． 11．如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是_____． 12．动点在棱长为2的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分） 13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 14．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 15．如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（ ） A． B． C． D． 16．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点．若空间三个不同的点、、，存在不全为0的实数、、，使得，则、、．已知，，则属于集合的点可以是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． （1）求该三棱柱的体积； （2）求点到平面的距离． 18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为0，正六边形内接于下底面圆． （1）试用表示圆柱的侧面积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 19．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． （1）设平面与直线相交于点，求证； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小． 20．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）． （1）应取多少厘米？ （2）制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗） 21．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第三小题6分） 四棱锥中，平面平面，，，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请阴理由． 参考答案 一、填空题 1.平行或异面; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 二、选择题 13.D 14.C 15.A 16.D 三、解答题 17.（1） （2） 18.（1） （2） 19.（1）证明略 （2） 20．【答案】（1） 2） 21．【答案】（1）证明略 （2） （3）存在 ... ...