(课件网) 24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质 第二十四章 圆 知识回顾 图形 公共点个数 直线与圆的 位置关系 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 导入新课 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 新课讲授 A B C 问题：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？ 观察： （1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的 半径有什么数量关系 （2）二者位置有什么关系？为什么？ 切线的判定定理 O 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA 为⊙O 的半径 BC⊥OA 于A BC 为⊙O 的切线 A B C 切线的判定定理 应用格式 O 要点归纳 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1) 不是，因为没有垂直. (2) (3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A. 判一判 注意 O. A O. A B A O (1) (2) (3) 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 O O 例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC. 求证：AC 是☉O 的切线. 分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可. 证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°， ∴∠ACB =∠ABC = 45°. ∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， 即 AB⊥AC. ∵ AB 是☉O 的直径， ∴ AC 是☉O 的切线. A O C B 例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB， CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. O B A C 证明：连接 OC. ∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线. ∴ OC⊥AB. ∵ OC 是 ⊙O 的半径， ∴ AB 是 ⊙O 的切线. 分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要 证明 AB⊥OC 即可. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB = r. ∴ AC 是⊙O 的切线. (1) 有交点，连半径，证垂直； 证切线时辅助线的添加方法 要点归纳 (2) 无交点，作垂直，证半径. 例3 例2 l为⊙O的切线 ◆经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. O l A ◎第一步： ◎第二步： 有公共点 连半径 作垂直 ◎第三步： 证垂直 证半径 无公共点 方法归纳 思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？ A l O ∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l⊥OA. 切线的性质定理 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 例4 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数. B O P A 解：如图，连接 OA. ∵ PA 是⊙O 的切线， ∵∠AOP = 2∠B = 50°， ∴∠P = 90° - 50° = 40°. ∴∠OAP = 90°. 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °. 2. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30 ... ...
