第50讲 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质 讲义（教师版+学生版）-2026届高三数学一轮复习

第50讲 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质 【基础回顾】 知识点1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 知识点2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【必备知识】 1．双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b，顶点到两条渐近线的距离为常数． 2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． 3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a． 4．离心率e＝＝＝． 5．双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形． (1)△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a； (2)设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝． 题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程 利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 提示：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 【例题精讲】 1．已知F1，F2是双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的左、右焦点，P为圆x2+y2＝2a2上一动点（纵坐标不为零），直线PF1，PF2分别交两条渐近线于M，N两点，则线段MN中点的轨迹为（　　） A．平行直线 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 【答案】A 【解答】解：设P点坐标为（，），渐近线方程为y＝±x， 直线PF1：y，直线PF2：y， 当点P在x上方时， 由，得M（，）， 同理N（，）， yM+yN， 当点P在x下方时，yM+yN， 故线段MN中点纵坐标y，即中点轨迹为平行直线． 故选：A． 2．设P是以F1，F2为焦点的双曲线上的动点，则△F1PF2的重心G的轨迹方程是（　　） A． B． C． D．（y≠0） 【答案】A 【解答】解：∵G是△PF1F2的重心，∴OP＝3OG， 设G（x，y）（y≠0），则P（3x，3y）， 代入双曲线方程可得：1． 故选：A． 3．双曲线M：实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA，QB⊥PB，则动点Q的轨迹方程是 　且y≠0　 ． 【答案】且y≠0． 【解答】解：设P（m，n），Q（x，y）， 由双曲线方程知，实轴的两个顶点A（﹣2，0），B（2，0）， ， ∵QA⊥PA，∴（﹣x﹣2） （﹣m﹣2）+ny＝0， 可得， 同理根据QB⊥PB，可得，两式相乘可得， ∵点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点， ∴，整理得， ∴，化简可得，由P点不与A，B重合，知y≠0， ∴动点Q的轨迹方程是且y≠0． 故答案为：且y≠0． 4．点P是双曲线x2﹣y2＝2上的动点，F是它的右焦点，则线段PF的中点M的轨迹方程为　2（x﹣1）2﹣2y2＝1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点M（x，y），F（2，0），故P点的坐标为（2x﹣2，2y）， 代入双曲线x2﹣y2＝2得：（2x﹣2）2﹣（2y）2＝2， 即线段PF的中点M的轨迹C2的方程为：2（x﹣1）2﹣2y2＝1； 故答案为：2（x﹣1）2﹣2y2＝1． 5．已知双曲线的左、右焦点分别是 F1，F2，Q是双曲线右支上的动点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，则垂足M的轨迹方程为 x2+y2＝9（x≤3）　 ． 【答案】x2+y2＝9（x≤3）． 【解答】解：设点M（x，y），延长QF ... ...