第51讲 直线与双曲线的位置关系 【基础回顾】 知识点1．直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)若b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． ①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线有两个交点； ②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线有一个公共点； ③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线无公共点． 知识点2．直线与双曲线的相交弦 设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则 |P1P2|＝＝＝|x1－x2|， 同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)． 这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形： |x1－x2|＝， |y1－y2|＝． 【必备知识】 1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线． 2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a． 题型一 直线与双曲线的位置关系 通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式． (1)在a≠0的情况下考察方程的判别式 ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点； ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点； ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． (2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 【例题精讲】 1．已知双曲线x2﹣y2＝1，直线y＝kx﹣1与双曲线相切于点P，与两条渐近线相交于A，B两点，则此时三角形OAB（O为原点）的面积为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解答】解：由，消去y并整理得（k2﹣1）x2﹣2kx+2＝0， 显然k2≠1，则Δ＝4k2﹣8（k2﹣1）＝0，解得， 由对称性，不妨取， 直线，而双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x2﹣y2＝0， 由，消去y并整理得，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，x1x2＝1，直线AB交y轴于点P（0，﹣1）， 所以三角形OAB的面积为：． 故选：B． 2．“k＝±”是“直线y＝k（x﹣3）与双曲线1只有一个公共点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：直线y＝k（x﹣3）恒过点（3，0），且双曲线的右顶点坐标为（2，0）， 若直线y＝k（x﹣3）与双曲线1只有一个公共点， 则直线y＝k（x﹣3）与双曲线的渐近线平行， 又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所以k， 所以“k＝±”是“直线y＝k（x﹣3）与双曲线1只有一个公共点”的充要条件． 故选：C． 3．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（2，4） D．（﹣1，﹣3） 【答案】D 【解答】解：因为双曲线方程为， 所以a＝1，b＝2，， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 此时，， 两式相减并整理得， 因为， 所以±2， 因为点 （﹣1，2）对应，故选项B错误； 点（2，4）对应，故选项C错误； 点（1，1）对应， 所以， 此时直线AB的方程为y﹣1＝4（x﹣1）， 即y＝4x﹣3， 联立，消去y并整理得﹣12x2+24x﹣13＝0， 此时Δ＝242﹣4×12×13＝﹣48＜0， 所以方程组无解，故选项A错误； 因为点（﹣1，﹣3）对应， 所以， 此时直线AB的方程为， 即， 联立，消去y并整理得20x2+40x﹣61＝0， 此时Δ＝402+4×20×61＝6480＞0，故选项D正确． 故选：D． 4．已知双曲线mx2﹣y2＝1，过点P（1，1）的直线l与双曲线相交于A，B两点，P为弦AB中点，则正整数m的最小值为 3 ． 【答案】3． 【解答】解：设A（x1，y1） ... ...
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